Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra

Ann Lemahieu; Lise Van Proeyen

doi:10.1016/j.crma.2009.03.032

Algebraic Geometry

Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra
[Pôles de la fonction zêta topologique d'une courbe plane et polyèdre de Newton]

Présenté par : Bernard Malgrange

Ann Lemahieu ¹ ; Lise Van Proeyen ¹

¹ K.U. Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven, Belgium

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 11-12, pp. 637-642.

Résumé
Abstract

La fonction zêta topologique locale est une fonction rationnelle associée au germe d'une fonction complexe holomorphe. Cette fonction peut être calculée à partir d'une résolution plongée du germe. Pour les fonctions qui sont non dégénérées pour leur polyèdre de Newton, elle peut également être calculée à partir de ce polyèdre de Newton. Ces deux méthodes donnent lieu à un ensemble de candidats pôles, contenant tous les pôles. Pour les courbes planes, W. Veys a démontré comment filtrer les pôles de l'ensemble des candidats pôles induit par le graphe de la résolution. Dans cette Note on montre, pour les courbes planes non dégénérées, comment déterminer les pôles directement à partir du polyèdre de Newton.

The local topological zeta function is a rational function associated to a germ of a complex holomorphic function. This function can be computed from an embedded resolution of singularities of the germ. For functions that are nondegenerate with respect to their Newton polyhedron it is also possible to compute it from the Newton polyhedron. Both ways give rise to a set of candidate poles of the topological zeta function, containing all poles. For plane curves, W. Veys showed how to filter the actual poles out of the candidate poles induced by the resolution graph. In this Note we show how to determine from the Newton polyhedron of a nondegenerate plane curve which candidate poles are actual poles.

Reçu le : 2008-05-16
Accepté le : 2009-03-17
Publié le : 2009-04-23

DOI : 10.1016/j.crma.2009.03.032

Affiliations des auteurs :

Ann Lemahieu ¹ ; Lise Van Proeyen ¹

¹ K.U. Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven, Belgium

@article{CRMATH_2009__347_11-12_637_0,
     author = {Ann Lemahieu and Lise Van Proeyen},
     title = {Poles of the topological zeta function for plane curves and {Newton} polyhedra},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {637--642},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {11-12},
     year = {2009},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.03.032},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Ann Lemahieu
AU  - Lise Van Proeyen
TI  - Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 637
EP  - 642
VL  - 347
IS  - 11-12
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2009.03.032
LA  - en
ID  - CRMATH_2009__347_11-12_637_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ann Lemahieu
%A Lise Van Proeyen
%T Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 637-642
%V 347
%N 11-12
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2009.03.032
%G en
%F CRMATH_2009__347_11-12_637_0

Ann Lemahieu; Lise Van Proeyen. Poles of the topological zeta function for plane curves and Newton polyhedra. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 11-12, pp. 637-642. doi : 10.1016/j.crma.2009.03.032. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.03.032/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Denef Report on Igusa's local zeta function, Sém. Bourbaki 741, Astérisque, vol. 201/202/203, 1991, pp. 359-386

[2] J. Denef; F. Loeser Caractéristiques d' Euler–Poincaré, fonctions zêta locales, et modifications analytiques, J. Amer. Math. Soc., Volume 5 (1992), pp. 705-720

[3] A.N. Varchenko Zeta-function of monodromy and Newton's diagram, Invent. Math., Volume 37 (1976), pp. 253-262

[4] W. Veys Determination of the poles of the topological zeta function for curves, Manuscripta Math., Volume 87 (1995), pp. 435-448

Cité par Sources :

^☆ The research was partially supported by the Fund of Scientific Research — Flanders (G.0318.06) and MEC PN I+D+I MTM2007-64704.

Commentaires - Politique