Comptes Rendus
no. 17-18
Équations aux dérivées partielles/Systèmes dynamiques
De Toda à KdV

Présenté par : Jean-Pierre Ramis

Dario Bambusi1 ; Thomas Kappeler2 ; Thierry Paul3
1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, Via Saldini 50, 20133 Milano, Italie
2 Institut für Mathematik, Universität Zürich, Winterthurerstrasse 190, CH-8057 Zürich, Suisse
3 CNRS et département de mathématiques et applications, UMR 8553, École normale supérieure, 45, rue d'Ulm, 75730 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 1025-1030.

On considère la limite à grand nombre de particules d'un système hamiltonien de type « Toda périodique » pour une famille de conditions initiales proches de la solution d'équilibre. On montre que, dans la formulation de paire de Lax, les deux bords des spectres des matrices de Jacobi des conditions initiales sont déterminés, à une erreur près, par ceux de deux opérateurs de Hill, associés à la famille de conditions initiales considérées. On en déduit que les spectres des matrices de Jacobi, lors de l'évolution limite donnée par KdV, restent constants à une erreur près que nous estimons. Enfin on montre que les actions du système Toda, convenablement renormalisées, tendent vers celles des deux équations de KdV.

We consider the large number of particles limit of a periodic Toda lattice for a family of initial data close to the equilibrium state. We show that each of the two edges of the spectra of the corresponding Jacobi matrices is up to an error, determined by the spectra of two Hill operators, associated to this family. We then show that the spectra of the Jacobi matrices remain almost constant when the matrices evolve along the two limiting KdV equations. Finally we prove that the Toda actions, when appropriately renormalized, converge to the ones of KdV.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.07.002
Dario Bambusi 1 ; Thomas Kappeler 2 ; Thierry Paul 3

1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, Via Saldini 50, 20133 Milano, Italie
2 Institut für Mathematik, Universität Zürich, Winterthurerstrasse 190, CH-8057 Zürich, Suisse
3 CNRS et département de mathématiques et applications, UMR 8553, École normale supérieure, 45, rue d'Ulm, 75730 Paris cedex 05, France 
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Dario Bambusi; Thomas Kappeler; Thierry Paul. De Toda à KdV. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 1025-1030. doi : 10.1016/j.crma.2009.07.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.07.002/

[1] D. Bambusi, T. Kappeler, T. Paul, en préparation

[2] D. Bambusi; A. Ponno On metastability in FPU, Comm. Math. Phys., Volume 264 (2006), pp. 539-561

[3] A. Bloch; F. Golse; T. Paul; A. Uribe Dispersionless Toda and Toeplitz operators, Duke Math. J., Volume 117 (2003), pp. 157-196

[4] H. Flaschka The Toda lattice I. Existence of integrals, Phys. Rev. B, Volume 9 (1974), pp. 1924-1925

[5] A. Henrici; T. Kappeler Global Birkhoff coordinates for the periodic Toda lattice, Nonlinearity, Volume 21 (2008), pp. 2731-2758

[6] T. Paul; A. Uribe A construction of quasimodes using coherent states, Ann. H. Poincaré Phys. Théo., Volume 59 (1993) no. 4, pp. 357-382

[7] M. Toda Theory of Nonlinear Lattices, Springer Series on Solid-State Sciences, vol. 20, Springer, 1989

[8] C. Wayne; G. Schneider Counter-propagating waves on fluid surfaces and the continuum limit of the Fermi–Pasta–Ulam model, Berlin, 1999, World Sci. Publ. (2000), pp. 390-404

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