On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras

Anton Alekseev; Charles Torossian

doi:10.1016/j.crma.2009.09.021

Group Theory

On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras
[Sur le problème de Kashiwara–Vergne pour les algèbres de Lie quadratiques]

Présenté par : Michèle Vergne

Anton Alekseev ¹ ; Charles Torossian ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2-4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Institut mathématiques de Jussieu, université Paris 7, CNRS, case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 21-22, pp. 1231-1236.

Résumé
Abstract

On montre, dans cette note, que le problème de Kashiwara–Vergne (KV) pour les algèbres de Lie quadratiques se ramène à l'écriture de la formule de Campbell–Hausdorff sous la forme $\ln (e^{x} e^{y}) = x + y + [x, a (x, y)] + [y, b (x, y)]$ , où $a (x, y)$ et $b (x, y)$ sont des séries de Lie en x et y. Ce résultat explique l'existence dans la littérature, de solutions rationnelles explicites au problème KV quadratique. Notons que la construction d'une solution rationnelle au problème KV général nécessite probablement la connaissance d'un associateur de Drinfeld rationnel.

We show that the Kashiwara–Vergne (KV) problem for quadratic Lie algebras (that is, Lie algebras admitting an invariant scalar product) reduces to the problem of representing the Campbell–Hausdorff series in the form $\ln (e^{x} e^{y}) = x + y + [x, a (x, y)] + [y, b (x, y)]$ , where $a (x, y)$ and $b (x, y)$ are Lie series in x and y. This observation explains the existence of explicit rational solutions of the quadratic KV problem, whereas constructing an explicit rational solution of the full KV problem would probably require the knowledge of a rational Drinfeld associator. It also gives, in the case of quadratic Lie algebras, a direct proof of the Duflo theorem (implied by the KV problem).

Reçu le : 2009-07-06
Accepté le : 2009-09-07
Publié le : 2009-10-08

DOI : 10.1016/j.crma.2009.09.021

Affiliations des auteurs :

Anton Alekseev ¹ ; Charles Torossian ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2-4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Institut mathématiques de Jussieu, université Paris 7, CNRS, case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

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Anton Alekseev; Charles Torossian. On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 21-22, pp. 1231-1236. doi : 10.1016/j.crma.2009.09.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.09.021/

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