On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras

Anton Alekseev; Charles Torossian

doi:10.1016/j.crma.2009.09.021

Group Theory

On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras
[Sur le problème de Kashiwara–Vergne pour les algèbres de Lie quadratiques]

Présenté par : Michèle Vergne

Anton Alekseev ¹ ; Charles Torossian ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2-4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Institut mathématiques de Jussieu, université Paris 7, CNRS, case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 21-22, pp. 1231-1236.

Résumé
Abstract

On montre, dans cette note, que le problème de Kashiwara–Vergne (KV) pour les algèbres de Lie quadratiques se ramène à l'écriture de la formule de Campbell–Hausdorff sous la forme $\ln (e^{x} e^{y}) = x + y + [x, a (x, y)] + [y, b (x, y)]$ , où $a (x, y)$ et $b (x, y)$ sont des séries de Lie en x et y. Ce résultat explique l'existence dans la littérature, de solutions rationnelles explicites au problème KV quadratique. Notons que la construction d'une solution rationnelle au problème KV général nécessite probablement la connaissance d'un associateur de Drinfeld rationnel.

We show that the Kashiwara–Vergne (KV) problem for quadratic Lie algebras (that is, Lie algebras admitting an invariant scalar product) reduces to the problem of representing the Campbell–Hausdorff series in the form $\ln (e^{x} e^{y}) = x + y + [x, a (x, y)] + [y, b (x, y)]$ , where $a (x, y)$ and $b (x, y)$ are Lie series in x and y. This observation explains the existence of explicit rational solutions of the quadratic KV problem, whereas constructing an explicit rational solution of the full KV problem would probably require the knowledge of a rational Drinfeld associator. It also gives, in the case of quadratic Lie algebras, a direct proof of the Duflo theorem (implied by the KV problem).

Reçu le : 2009-07-06
Accepté le : 2009-09-07
Publié le : 2009-10-08

DOI : 10.1016/j.crma.2009.09.021

Affiliations des auteurs :

Anton Alekseev ¹ ; Charles Torossian ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2-4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Institut mathématiques de Jussieu, université Paris 7, CNRS, case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

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Anton Alekseev; Charles Torossian. On triviality of the Kashiwara–Vergne problem for quadratic Lie algebras. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 21-22, pp. 1231-1236. doi : 10.1016/j.crma.2009.09.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.09.021/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Alekseev; E. Meinrenken The non-commutative Weil algebra, Invent. Math., Volume 139 (2000), pp. 135-172

[2] A. Alekseev; E. Meinrenken Poisson geometry and the Kashiwara–Vergne conjecture, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 335 (2002) no. 9, pp. 723-728

[3] A. Alekseev; E. Meinrenken On the Kashiwara–Vergne conjecture, Invent. Math., Volume 164 (2006), pp. 615-634

[4] A. Alekseev; C. Torossian The Kashiwara–Vergne conjecture and Drinfeld's associators (preprint) | arXiv

[5] M. Andler; A. Dvorsky; S. Sahi Deformation quantization and invariant distributions, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 330 (2000), pp. 115-120

[6] M. Andler; S. Sahi; C. Torossian Convolution of invariant distributions: Proof of the Kashiwara–Vergne conjecture, Lett. Math. Phys., Volume 69 (2004), pp. 177-203

[7] D. Bar-Natan; T.T.Q. Le; D. Thurston Two applications of elementary knot theory to Lie algebras and Vassiliev invariants, Geom. Topol., Volume 7 (2003), pp. 1-31

[8] E. Burgunder Eulerian idempotent and Kashiwara–Vergne conjecture, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 58 (2008) no. 4, pp. 1153-1184

[9] V.G. Drinfeld On quasitriangular quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with $Gal (\bar{Q} / Q)$ , Leningrad Math. J., Volume 2 (1991) no. 4, pp. 829-860

[10] M. Duflo Opérateurs différentiels bi-invariants sur un groupe de Lie, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 10 (1977), pp. 265-288

[11] M. Kashiwara; M. Vergne The Campbell–Hausdorff formula and invariant hyperfunctions, Invent. Math., Volume 47 (1978), pp. 249-272

[12] A. Medina; Ph. Revoy Caractérisation des groupes de Lie ayant une pseudo-métrique bi-invariante: Applications, Lyon, 1983, Travaux en Cours, Hermann, Paris (1984), pp. 149-166

[13] M. Pevzner; Ch. Torossian Isomorphisme de Duflo et la cohomologie tangentielle, J. Geom. Phys., Volume 51 (2004) no. 4, pp. 486-505

[14] P. Severa; T. Willwacher Equivalence of formalities of the little discs operad (preprint) | arXiv

[15] B. Shoikhet Tsygan formality and Duflo formula, Math. Res. Lett., Volume 10 (2003) no. 5–6, pp. 763-775

[16] M. Vergne Le centre de l'algèbre enveloppante et la formule de Campbell–Hausdorff, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 329 (1999) no. 9, pp. 767-772

Andrey S. Losev; Pavel Mnev; Donald R. Youmans Two-Dimensional Non-abelian BF Theory in Lorenz Gauge as a Solvable Logarithmic TCFT, Communications in Mathematical Physics, Volume 376 (2020) no. 2, p. 993 | DOI:10.1007/s00220-019-03638-7
Bei Kang; Yi Pan; Ke Wu; Jie Yang; Zi-Feng Yang Descent Equations Starting from High Rank Chern-Simons, Communications in Theoretical Physics, Volume 69 (2018) no. 4, p. 375 | DOI:10.1088/0253-6102/69/4/375
Seunghun Hong A Lie-algebraic approach to the local index theorem on compact homogeneous spaces, Advances in Mathematics, Volume 296 (2016), p. 127 | DOI:10.1016/j.aim.2016.03.038
François Rouvière The Kashiwara-Vergne Method for Lie Groups, Symmetric Spaces and the Kashiwara-Vergne Method, Volume 2115 (2014), p. 1 | DOI:10.1007/978-3-319-09773-2_1
François Rouvière e-Functions and the Campbell-Hausdorff Formula, Symmetric Spaces and the Kashiwara-Vergne Method, Volume 2115 (2014), p. 119 | DOI:10.1007/978-3-319-09773-2_4
François Rouvière Convolution on Homogeneous Spaces, Symmetric Spaces and the Kashiwara-Vergne Method, Volume 2115 (2014), p. 51 | DOI:10.1007/978-3-319-09773-2_2
François Rouvière The Role of e-Functions, Symmetric Spaces and the Kashiwara-Vergne Method, Volume 2115 (2014), p. 57 | DOI:10.1007/978-3-319-09773-2_3
A. Alekseev; B. Enriquez; C. Torossian Drinfeld associators, Braid groups and explicit solutions of the Kashiwara–Vergne equations, Publications mathématiques de l'IHÉS, Volume 112 (2010) no. 1, p. 143 | DOI:10.1007/s10240-010-0029-4

Cité par 8 documents. Sources : Crossref

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