Comptes Rendus
no. 23-24
Équations aux dérivées partielles
Propagation de fronts dans les équations de Fisher–KPP avec diffusion fractionnaire

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Xavier Cabré1 ; Jean-Michel Roquejoffre2
1 ICREA et Universitat Politécnica de Catalunya, Dep. de Matemàtica Aplicada I, Av. Diagonal 647, 08028 Barcelone, Espagne
2 Institut de mathématiques, Univ. de Toulouse et CNRS (UMR 5219), 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1361-1366.

On s'intéresse dans cette Note à l'équation de Fisher–KPP dans l'espace entier, où le laplacien est remplacé par le générateur d'un semi-groupe de Feller à noyau lentement décroissant, un exemple important étant le laplacien fractionnaire. A la différence de l'équation de Fisher–KPP classique, où l'état stable envahit l'état instable à une vitesse constante en temps, nous montrons que la vitesse d'invasion est exponentielle en temps. Ces résultats apportent une justification mathématiquement rigoureuse à de nombreuses heuristiques sur ce modèle.

We study in this Note the Fisher–KPP equation where the Laplacian is replaced by the generator of a Feller semigroup with slowly decaying kernel, an important example being the fractional Laplacian. Contrary to what happens in the standard Laplacian case, where the stable state invades the unstable one at constant speed, we prove here that invasion holds at an exponential in time velocity. These results provide a mathematically rigorous justification of numerous heuristics about this model.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.10.012
Xavier Cabré 1 ; Jean-Michel Roquejoffre 2

1 ICREA et Universitat Politécnica de Catalunya, Dep. de Matemàtica Aplicada I, Av. Diagonal 647, 08028 Barcelone, Espagne
2 Institut de mathématiques, Univ. de Toulouse et CNRS (UMR 5219), 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France 
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Xavier Cabré; Jean-Michel Roquejoffre. Propagation de fronts dans les équations de Fisher–KPP avec diffusion fractionnaire. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1361-1366. doi : 10.1016/j.crma.2009.10.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.10.012/

[1] D.G. Aronson; H.F. Weinberger Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics, Adv. Math., Volume 30 (1978), pp. 33-76

[2] H. Berestycki, J.-M. Roquejoffre, L. Rossi, en préparation

[3] J.-M. Bony; P. Courrège; P. Priouret Semi-groupes de Feller sur une variété à bord compacte et problèmes aux limites intégro-différentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum, Ann. Inst. Fourier, Volume 18 (1968), pp. 369-521

[4] X. Cabré, J.-M. Roquejoffre, The influence of fractional diffusion in Fisher–KPP equations, en préparation

[5] J. Duoandikoetxea Fourier Analysis, SFO Graduate Studies in Mathematics, vol. 29, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001

[6] F. Hamel, L. Roques, Fast propagation for KPP equations with slowly decaying initial conditions, en préparation

[7] A.N. Kolmogorov; I.G. Petrovskii; N.S. Piskunov Etude de l'équation de diffusion avec accroissement de la quantité de matière, et son application à un problème biologique, Bjul. Moskowskogo Gos. Univ., Volume 17 (1937), pp. 1-26

[8] R. Mancinelli; D. Vergni; A. Vulpiani Front propagation in reactive systems with anomalous diffusion, Phys. D, Volume 185 (2003), pp. 175-195

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