Optimal double stopping time problem

Magdalena Kobylanski; Marie-Claire Quenez; Elisabeth Rouy-Mironescu

doi:10.1016/j.crma.2009.11.020

Optimal Control/Probability Theory

Optimal double stopping time problem
[Arrêt optimal avec deux temps d'arrêt]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Magdalena Kobylanski ¹ ; Marie-Claire Quenez ² ; Elisabeth Rouy-Mironescu ³

¹ LAMA, CNRS – UMR 8050, université Paris Est, cité Descartes, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France
² LPMA, CNRS – UMR 7599, université Paris-Diderot, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
³ ICJ, École centrale de Lyon, CNRS – UMR 5208, 36, avenue Guy-de-Collongue, 69134 Ecully cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 65-69.

Résumé
Abstract

Nous étudions le problème d'arrêt optimal avec deux temps d'arrêt où la fonction valeur est définie par $v (S) = ess \sup {E [ψ (τ_{1}, τ_{2}) | F_{S}], τ_{1}, τ_{2} ⩾ S}$ pour chaque temps d'arrêt S. Nous montrons que ce problème se réduit à un problème d'arrêt optimal avec un seul temps d'arrêt pour un nouveau rendement ϕ, i.e. $v (S) = ess \sup {E [ϕ (τ) | F_{S}], τ ⩾ S}$ . Nous montrons l'existence de temps d'arrêt optimaux sous des hypothèses de régularité sur ψ.

We consider the optimal double stopping time problem $v (S) = ess \sup {E [ψ (τ_{1}, τ_{2}) | F_{S}], τ_{1}, τ_{2} ⩾ S}$ for each stopping time S. Following the optimal one stopping time problem, we study the existence of optimal stopping times and give a method to compute them. The key point is the construction of a new reward ϕ such that $v (S) = ess \sup {E [ϕ (τ) | F_{S}], τ ⩾ S}$ .

Reçu le : 2009-07-11
Accepté le : 2009-11-25
Publié le : 2009-12-29

DOI : 10.1016/j.crma.2009.11.020

Affiliations des auteurs :

Magdalena Kobylanski ¹ ; Marie-Claire Quenez ² ; Elisabeth Rouy-Mironescu ³

¹ LAMA, CNRS – UMR 8050, université Paris Est, cité Descartes, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France
² LPMA, CNRS – UMR 7599, université Paris-Diderot, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
³ ICJ, École centrale de Lyon, CNRS – UMR 5208, 36, avenue Guy-de-Collongue, 69134 Ecully cedex, France

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Magdalena Kobylanski; Marie-Claire Quenez; Elisabeth Rouy-Mironescu. Optimal double stopping time problem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 65-69. doi : 10.1016/j.crma.2009.11.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.11.020/

Bibliographie
Cité par

[1] N. El Karoui Les Aspects Probabilistes du Contrôle Stochastique, Ecole d'été de Probabilités de Saint-Flour IX, Springer-Verlag, 1981, p. 876

[2] I. Karatzas; S. Shreve Methods of Mathematical Finance, Springer-Verlag, 1999

[3] M. Kobylanski, M.-C. Quenez, Optimal multiple stopping: the Markovian case and applications to finance, working paper, 2009

[4] M. Kobylanski; M.-C. Quenez; E. Rouy-Mironescu Optimal multiple stopping time problem | arXiv

[5] J. Neveu Discrete-Parameter Martingales, North-Holland/American Elsevier, Amsterdam/New York, 1975 (English translation)

[6] B. Oksendal; A. Sulem Applied Stochastic Control of Jump Diffusions, Springer, 2007

Cité par Sources :

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