Very nilpotent basis and <i>n</i>-tuples in Borel subalgebras

Michaël Bulois

doi:10.1016/j.crma.2010.12.005

Lie Algebras/Algebraic Geometry

Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras

Presented by: Michel Duflo

Michaël Bulois ¹

¹ LAREMA – UMR 6093, Université d'Angers, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers cedex 1, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 3-4, pp. 149-152.

Abstract
Résumé

A (vector space) basis B of a Lie algebra is said to be very nilpotent if all the iterated brackets of elements of B are nilpotent. In this Note, we prove a refinement of Engel's Theorem. We show that a Lie algebra has a very nilpotent basis if and only if it is a nilpotent Lie algebra. When $g$ is a semisimple Lie algebra, this allows us to define an ideal of $S {({(g^{n})}^{⁎})}^{G}$ whose associated algebraic set in $g^{n}$ is the set of n-tuples lying in a same Borel subalgebra.

Une base (d'espace vectoriel) B d'une algèbre de Lie est dite fortement nilpotente si tous les crochets itérés des éléments de B sont nilpotents. Dans cette Note, on démontre une version améliorée du théorème d'Engel. On montre qu'une algèbre de Lie admet une base fortement nilpotente si et seulement si c'est une algèbre nilpotente. Lorsque $g$ est une algèbre de Lie semi-simple, ceci nous permet de définir un idéal de $S {({(g^{n})}^{⁎})}^{G}$ dont l'ensemble algèbrique associé dans $g^{n}$ est l'ensemble des n-uplets vivants dans une même sous-algèbre de Borel.

Received: 2010-11-23
Accepted: 2010-12-08
Published online: 2010-12-30

DOI: 10.1016/j.crma.2010.12.005

Author's affiliations:

Michaël Bulois ¹

¹ LAREMA – UMR 6093, Université d'Angers, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers cedex 1, France

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Michaël Bulois. Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 3-4, pp. 149-152. doi : 10.1016/j.crma.2010.12.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.12.005/

References
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