Comptes Rendus
no. 5-6
Differential Geometry
A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle
[Une classe de structures de Poisson compatibles avec la structure de Poisson canonique sur le fibré cotangent]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Mohamed Boucetta1 ; Zouhair Saassai1
1 Université Cadi-Ayyad, Faculté des sciences et techniques Gueliz, BP 549, 40000 Marrakech, Morocco
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 5-6, pp. 331-335.

Soit M une variété différentiable munie dʼun tenseur de Poisson σ et dʼune métrique riemannienne g et soit J=σ#∘#−1 le tenseur de type (1,1) reliant σ à g. Il est connu que J se relève à T⁎M et définit un champ de bivecteur ΠJ qui est de Poisson et compatible avec la structure de Poisson canonique de T⁎M si la torsion de J est nulle. On considère la structure dʼalgébroide de Lie sur T⁎M associée à σ. Elle définit par dualité un tenseur de Poisson Πσ sur TM. Notons Πσg le tenseur de Poisson sur T⁎M image de Πσ par lʼisomorphisme musical associé à g. Nous montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) Πσg est compatible avec la structure de Poisson canonique sur T⁎M, (b) Πσg=ΠJ, (c) σ est parallèle par rapport à la connexion de Levi-Civita de g.

Nous donnerons une large classe dʼexemples illustrant cette situation.

Let M be a smooth manifold endowed with a Poisson tensor σ and a Riemannian metric g and let J=σ#∘#−1 be the (1,1) tensor field relating σ to g. It is well known that the complete lift of J defines a bivector field ΠJ on T⁎M which is a Poisson tensor compatible with canonical Poisson structure on T⁎M if J is torsionless. We consider the Lie algebroid structure on T⁎M associated to σ. It defines by duality a Poisson tensor Πσ on TM. Denote by Πσg the Poisson tensor on T⁎M pull-back of Πσ by the musical isomorphism associated to g. We show that the following three assertions are equivalent: (a) Πσg is compatible with the canonical Poisson structure on T⁎M, (b) Πσg=ΠJ, (c) σ is parallel with respect to the Levi-Civita connection of g.

We give also a large class of examples illustrating this situation.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.01.027
Mohamed Boucetta 1 ; Zouhair Saassai 1

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[1] C. Bartocci Claudio; G. Falqui; I. Mencattini; G. Ortenzi; M. Pedroni On the geometric origin of the bi-Hamiltonian structure of the Calogero–Moser system, Int. Math. Res. Not., Volume 2 (2010), pp. 279-296

[2] J.M. Dardié; A. Medina Algèbres de Lie Kähleriennes et double extension, J. Algebra, Volume 185 (1996) no. 3, pp. 774-795

[3] J.P. Dufour; N.T. Zung Poisson Structures and Their Normal Forms, Progr. Math., vol. 242, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2005

[4] A. Ibort; F. Magri; G. Marmo Bihamiltonian structures and Stäckel separability, J. Geom. Phys., Volume 33 (2000), pp. 210-228

[5] S. Ishihara; K. Yano Tangent and Cotangent Bundles: Differential Geometry, Marcel Dekker, New York, 1973 (p. 20)

[6] Kirill C.H. Mackenzie General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 213, Cambridge University Press, New York, 2005

[7] F. Magri A simple model of the integrable Hamiltonian equation, J. Math. Phys., Volume 19 (1978), pp. 1156-1162

[8] F.-J. Turiel Structures bihamiltoniennes sur le fibré cotangent, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 315 (1992), pp. 1085-1088

[9] Izu Vaisman Lecture on the Geometry of Poisson Manifolds, Progr. Math., vol. 118, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1994

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