Classification of upper motives of algebraic groups of inner type $ {A}_{n}$

Charles De Clercq

doi:10.1016/j.crma.2011.02.020

Algebraic Geometry

Classification of upper motives of algebraic groups of inner type

A_{n}

[Classification des motifs supérieurs des groupes algébriques intérieurs de type

A_{n}

]

Présenté par : the Editorial Board

Charles De Clercq ¹

¹ Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), équipe topologie et géométrie algébriques, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 7-8, pp. 433-436.

Résumé
Abstract

Soient A, $A^{'}$ deux algèbres centrales simples sur un corps F et $F$ un corps fini de caractéristique p. Nous prouvons que les facteurs directs indécomposables supérieurs des motifs de deux variétés anisotropes de drapeaux dʼidéaux à droite $X (d_{1}, \dots, d_{k}; A)$ et $X (d_{1}^{'}, \dots, d_{k^{'}}^{'}; A^{'})$ à coefficients dans $F$ sont isomorphes si et seulement si les valuations p-adiques de $pgcd (d_{1}, \dots, d_{k})$ et $pgcd (d_{1}^{'}, \dots, d_{k^{'}}^{'})$ sont égales et les classes des composantes p-primaires $A_{p}$ et $A_{p}^{'}$ de A et $A^{'}$ engendrent le même sous-groupe dans le groupe de Brauer de F. Ce résultat mène à une surprenante dichotomie entre les motifs supérieurs des groupes algébriques absolument simples, adjoints et intérieurs de type $A_{n}$ .

Let A, $A^{'}$ be two central simple algebras over a field F and $F$ be a finite field of characteristic p. We prove that the upper indecomposable direct summands of the motives of two anisotropic varieties of flags of right ideals $X (d_{1}, \dots, d_{k}; A)$ and $X (d_{1}^{'}, \dots, d_{k^{'}}^{'}; A^{'})$ with coefficients in $F$ are isomorphic if and only if the p-adic valuations of $\gcd (d_{1}, \dots, d_{k})$ and $\gcd (d_{1}^{'}, \dots, d_{k^{'}}^{'})$ are equal and the classes of the p-primary components $A_{p}$ and $A_{p}^{'}$ of A and $A^{'}$ generate the same group in the Brauer group of F. This result leads to a surprising dichotomy between upper motives of absolutely simple adjoint algebraic groups of inner type $A_{n}$ .

Reçu le : 2011-01-24
Accepté le : 2011-02-28
Publié le : 2011-03-26

DOI : 10.1016/j.crma.2011.02.020

Affiliations des auteurs :

Charles De Clercq ¹

¹ Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), équipe topologie et géométrie algébriques, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

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Charles De Clercq. Classification of upper motives of algebraic groups of inner type $ {A}_{n}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 7-8, pp. 433-436. doi : 10.1016/j.crma.2011.02.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.02.020/

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