Comptes Rendus
Théorie des nombres/Géométrie algébrique
Minorations du nombre de classes des corps de fonctions algébriques définis sur un corps fini
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 13-14, pp. 709-712.

On donne des minorations du nombre de diviseurs effectifs de degré g1 dʼun corps de fonctions algébriques en une variable de genre g2 défini sur un corps fini Fq. On en déduit alors des minorations du nombre de classes, dépendant essentiellement du nombre de places dʼun certain degré r, qui améliorent les meilleures bornes inférieures connues dans de nombreux cas. De plus, nous montrons que toutes les familles de corps de fonctions algébriques en une variable ayant asymptotiquement (relativement au genre) un grand nombre de places dʼun certain degré r1, possèdent un nombre de classe asymptotiquement grand dont nous donnons une estimation.

We give lower bounds for the number of effective divisors of degree g1 of an algebraic function field of one variable of genus g2 defined over a finite field. We deduce lower bounds for the class number, depending mainly on the number of places of a certain degree, which improve the best known lower bounds in many cases. Moreover, we prove that any family of algebraic function fields having asymptotically (with respect to the genus) a large number of places of a certain degree r1, have a large asymptotical class number for which we give an estimate.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.06.016

Stéphane Ballet 1 ; Robert Rolland 1

1 Institut de mathématiques de Luminy, case 930, 13288 Marseille cedex 9, France
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[1] Stéphane Ballet; Robert Rolland Families of curves over any finite field attaining the generalized Drinfeld–Vladut bound, Publ. Math. Univ. Franche-Comté Besançon Algèbr. Theor., Volume 5–18 (2011)

[2] Arnaldo Garcia; Henning Stichtenoth On tame towers over finite felds of Artin–Schreier extensions of function fields attaining the Drinfeld–Vladut bound, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, Volume 557 (2003), pp. 53-80

[3] Arnaldo Garcia; Henning Stichtenoth; Hans-Georg Rück A tower of Artin–Schreier extensions of function fields attaining the Drinfeld–Vladut bound, Inventiones Mathematicae, Volume 121 (1995), pp. 211-222

[4] Gilles Lachaud; Mireille Martin-Deschamps Nombre de points des jacobiennes sur un corps finis, Acta Arithmetica, Volume 56 (1990) no. 4, pp. 329-340

[5] Marc Perret Number of points of Prym varieties over finite fields, Glasg. Math. J., Volume 48 (2006) no. 2, pp. 275-280

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