Comptes Rendus
Mathematical Problems in Mechanics
An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 111-116.

Let ω be a domain in R2. The classical approach to the Neumann problem for a nonlinearly elastic plate consists in seeking a displacement field η=(ηi)V(ω)=H1(ω)×H1(ω)×H2(ω) that minimizes a non-quadratic functional over V(ω). We show that this problem can be recast as a minimization problem in terms of the new unknowns Eαβ=12(αηβ+βηα+αη3βη3)L2(ω) and Fαβ=αβη3L2(ω) and that this problem has a solution in a manifold of symmetric matrices E=(Eαβ) and F=(Fαβ) whose components EαβL2(ω) and FαβL2(ω) satisfy nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type. We also show that such an “intrinsic approach” naturally leads to a new definition of polyconvexity.

Soit ω un domaine de R2. Lʼapproche classique du problème de Neumann pour une plaque non linéairement élastique consiste à chercher un champ de déplacements η=(ηi)V(ω)=H1(ω)×H1(ω)×H2(ω) qui minimise une fonctionnelle non quadratique sur V(ω). Nous montrons que ce problème peut être ré-écrit comme un problème de minimisation en termes des nouvelles inconnues Eαβ=12(αηβ+βηα+αη3βη3)L2(ω) et Fαβ=αβη3L2(ω) et que ce problème a une solution dans une variété de matrices symétriques E=(Eαβ) et F=(Fαβ) dont les composantes EαβL2(ω) et FαβL2(ω) satisfont des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant. Nous montrons également quʼune telle « approche intrinsèque » conduit naturellement à une nouvelle définition de polyconvexité.

Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2011.11.001

Philippe G. Ciarlet 1; Sorin Mardare 2

1 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
2 Laboratoire de mathématiques Raphaël-Salem, université de Rouen, avenue de lʼuniversité, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray, France
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[1] J. Ball Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 63 (1977), pp. 337-403

[2] P.G. Ciarlet; P. Destuynder A justification of a nonlinear model in plate theory, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 17/18 (1979), pp. 227-258

[3] P.G. Ciarlet; S. Mardare Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 349 (2011) no. 23–24, pp. 1297-1302

[4] P.G. Ciarlet, S. Mardare, Saint-Venant compatibility conditions and a notion of polyconvexity in nonlinear plate theory, in preparation.

Cited by Sources:

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