An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates

Philippe G. Ciarlet; Sorin Mardare

doi:10.1016/j.crma.2011.11.001

Mathematical Problems in Mechanics

An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates
[Une approche intrinsèque et une notion de polyconvexité pour les plaques non linéairement élastiques]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Sorin Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de mathématiques Raphaël-Salem, université de Rouen, avenue de lʼuniversité, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 111-116.

Résumé
Abstract

Soit ω un domaine de $R^{2}$ . Lʼapproche classique du problème de Neumann pour une plaque non linéairement élastique consiste à chercher un champ de déplacements $η = (η_{i}) \in V (ω) = H^{1} (ω) \times H^{1} (ω) \times H^{2} (ω)$ qui minimise une fonctionnelle non quadratique sur $V (ω)$ . Nous montrons que ce problème peut être ré-écrit comme un problème de minimisation en termes des nouvelles inconnues $E_{α β} = \frac{1}{2} (\partial_{α} η_{β} + \partial_{β} η_{α} + \partial_{α} η_{3} \partial_{β} η_{3}) \in L^{2} (ω)$ et $F_{α β} = \partial_{α β} η_{3} \in L^{2} (ω)$ et que ce problème a une solution dans une variété de matrices symétriques $E = (E_{α β})$ et $F = (F_{α β})$ dont les composantes $E_{α β} \in L^{2} (ω)$ et $F_{α β} \in L^{2} (ω)$ satisfont des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant. Nous montrons également quʼune telle « approche intrinsèque » conduit naturellement à une nouvelle définition de polyconvexité.

Let ω be a domain in $R^{2}$ . The classical approach to the Neumann problem for a nonlinearly elastic plate consists in seeking a displacement field $η = (η_{i}) \in V (ω) = H^{1} (ω) \times H^{1} (ω) \times H^{2} (ω)$ that minimizes a non-quadratic functional over $V (ω)$ . We show that this problem can be recast as a minimization problem in terms of the new unknowns $E_{α β} = \frac{1}{2} (\partial_{α} η_{β} + \partial_{β} η_{α} + \partial_{α} η_{3} \partial_{β} η_{3}) \in L^{2} (ω)$ and $F_{α β} = \partial_{α β} η_{3} \in L^{2} (ω)$ and that this problem has a solution in a manifold of symmetric matrices $E = (E_{α β})$ and $F = (F_{α β})$ whose components $E_{α β} \in L^{2} (ω)$ and $F_{α β} \in L^{2} (ω)$ satisfy nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type. We also show that such an “intrinsic approach” naturally leads to a new definition of polyconvexity.

Accepté le : 2011-10-31
Publié le : 2011-11-16

DOI : 10.1016/j.crma.2011.11.001

Affiliations des auteurs :

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Sorin Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de mathématiques Raphaël-Salem, université de Rouen, avenue de lʼuniversité, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray, France

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Philippe G. Ciarlet; Sorin Mardare. An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 111-116. doi : 10.1016/j.crma.2011.11.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.11.001/

Bibliographie
Cité par

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Cité par 3 documents. Sources : Crossref

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