[Observabilité et stabilisation simultanées dʼéquations dʼondes découplées]
Nous considérons un système dʼéquations dʼondes découplées ayant des vitesses de propagation différentes dans un domaine borné. Utilisant une combinaison de lʼinégalité dʼobservabilité de Bardos–Lebeau–Rauch pour une seule équation dʼondes ainsi quʼun nouveau résultat de continuation unique pour un système dʼondes découplées, nous démontrons une inégalité dʼobservabilité pour ce système. Une application de la méthode dʼunicité de Hilbert de Lions (HUM), conduit, avec lʼaide de cette inégalité à des résultats de contrôlabilité exacte simultanée ; les contrôles étant localement distribués dans le domaine en question, et leurs supports satisfaisant la propriété de contrôle géométrique de Bardos–Lebeau–Rauch. Par la suite, nous étudions le problème de stabilisation simultanée associé ; en particulier, nous démontrons la décroissance exponentielle de lʼénergie avec lʼaide de la nouvelle inégalité dʼobservabilité ainsi quʼun résultat de Haraux sur lʼéquivalence entre lʼobservabilité et la stabilisation dʼéquations dʼévolution du second ordre en temps où lʼopérateur décrivant lʼamortissement est borné. Les résultats établis dans cette note généralisent à toutes dimensions dʼespace certains résultas antérieurs de Haraux démontrés dans le cadre unidimensionel.
We consider uncoupled wave equations with different speed of propagation in a bounded domain. Using a combination of the Bardos–Lebeau–Rauch observability result for a single wave equation and a new unique continuation result for uncoupled wave equations, we prove an observability estimate for that system. Applying Lionsʼ Hilbert uniqueness method (HUM), one may derive simultaneous exact controllability results for the uncoupled system; the controls being locally distributed, with their supports satisfying the geometric control condition of Bardos, Lebeau and Rauch. Afterwards, we discuss the related simultaneous stabilization problem; this latter problem is solved by a combination of the new observability inequality, and a result of Haraux establishing an equivalence between observability and stabilization for second order evolution equations with bounded damping operators. Our observability and stabilization results generalize to higher space dimensions some earlier results of Haraux established in the one-dimensional setting.
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Louis Tebou. Simultaneous observability and stabilization of some uncoupled wave equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 57-62. doi : 10.1016/j.crma.2011.12.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.12.001/
[1] Indirect controllability of locally coupled systems under geometric conditions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 349 (2011), pp. 395-400
[2] Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 306 (1988), pp. 837-852
[3] Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization from the boundary, SIAM J. Control Optim., Volume 30 (1992), pp. 1024-1065
[4] Contrôlabilité exacte des ondes dans des ouverts peu réguliers, Asymptot. Anal., Volume 14 (1997), pp. 157-191
[5] On the optimality of the observability for parabolic and hyperbolic systems with potentials, Ann. Inst. H. Poincaré AN, Volume 25 (2008), pp. 1-41
[6] On a completion problem in the theory of distributed control of wave equations, Paris, 1987–1988 (Pitman Res. Notes Math. Ser.), Volume vol. 220, Longman Sci. Tech., Harlow (1991), pp. 241-271
[7] Une remarque sur la stabilisation de certains systèmes du deuxième ordre en temps, Portugal. Math., Volume 46 (1989), pp. 245-258
[8] Exact Controllability and Stabilization. The Multiplier Method, RAM, Masson & John Wiley, Paris, 1994
[9] Inverse/observability estimates for second-order hyperbolic equations with variable coefficients, J. Math. Anal. Appl., Volume 235 (1999) no. 1, pp. 13-57
[10] Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation des systèmes distribués, vol. 1, RMA, vol. 8, Masson, Paris, 1988
[11] Exact controllability of a cascade system of conservative equations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 349 (2011), pp. 291-296
[12] Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions, SIAM Rev., Volume 20 (1978) no. 4, pp. 639-739
[13] Some results on the controllability of coupled semilinear wave equations: the desensitizing control case, SIAM J. Control Optim., Volume 49 (2011), pp. 1221-1238
[14] Locally distributed desensitizing controls for the wave equation, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008), pp. 407-412
[15] Exact controllability for semilinear wave equations in one space dimension, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 10 (1993), pp. 109-129
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Fatiha Alabau-Boussouira; Kaïs Ammari
C. R. Math (2010)
A direct method for the stabilization of some locally damped semilinear wave equations
Louis Tcheugoué Tébou
C. R. Math (2006)