Courbes algébriques ordinaires et tissus associés

Laurent Gruson; Youssef Hantout; Daniel Lehmann

doi:10.1016/j.crma.2012.05.005

Géométrie algébrique/Systèmes dynamiques

Courbes algébriques ordinaires et tissus associés

Présenté par : Claire Voisin

Laurent Gruson ¹ ; Youssef Hantout ² ; Daniel Lehmann ³

¹ Département de mathématiques, université de Versailles, 45, avenue des Etats Unis, 78035 Versailles, France
² Département de mathématiques, université de Lille 1, 59650 Villeneuve dʼAscq cedex, France
³ 4, rue Becagrun, 30980 Saint Dionisy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518.

Résumé
Abstract

Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe $P_{n}$ $(n ⩾ 3, d ⩾ n)$ . Notons $c (n, h)$ la dimension $(\begin{matrix} n - 1 + h \\ n - 1 \end{matrix})$ de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et $k_{0}$ lʼentier ⩾1 tel que $c (n, k_{0}) ⩽ d < c (n, k_{0} + 1)$ . Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de $P_{n}$ , qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane $Γ \cap H$ , est vide si $h ⩽ k_{0}$ , et est un espace projectif de dimension égale à $c (n, h) - d - 1$ si $h > k_{0}$ . Pour $k_{0} ⩾ 2$ , ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans ${\overset{ˇ}{P}}_{n}$ est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre $π^{'} (n, d) = \sum_{h = 1}^{k_{0}} (d - c (n, h))$ $(= k_{0} d - c (n + 1, k_{0}) + 1)$ , et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour $n = 3$ , et tout degré $d ⩾ 3$ , la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert $H_{d, π^{'} (3, d)}$ .

Par contraste, les courbes intersections complètes de $n - 1$ hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si $k_{0} ⩾ 2$ .

Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space $P_{n}$ $(n ⩾ 3, d ⩾ n)$ . Denoting by $c (n, h)$ the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let $k_{0}$ be the integer (⩾1) such that $c (n, k_{0}) ⩽ d < c (n, k_{0} + 1)$ . The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of $P_{n}$ which have degree h and contain the hyperplane section $Γ \cap H$ , is empty if $h ⩽ k_{0}$ , and is a projective space of dimension $c (n, h) - d - 1$ if $h > k_{0}$ . Equivalently when $k_{0} ⩾ 2$ , the associated web in ${\overset{ˇ}{P}}_{n}$ of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number $π^{'} (n, d) = \sum_{h = 1}^{k_{0}} (d - c (n, h))$ $(= k_{0} d - c (n + 1, k_{0}) + 1)$ , and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For $n = 3$ and any $d ⩾ 3$ , the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme $H_{d, π^{'} (3, d)}$ .

By contrast, the complete intersection of $n - 1$ algebraic hypersurfaces is never ordinary if $k_{0} ⩾ 2$ .

Reçu le : 2012-02-16
Accepté le : 2012-05-09
Publié le : 2012-05-01

DOI : 10.1016/j.crma.2012.05.005

Affiliations des auteurs :

Laurent Gruson ¹ ; Youssef Hantout ² ; Daniel Lehmann ³

¹ Département de mathématiques, université de Versailles, 45, avenue des Etats Unis, 78035 Versailles, France
² Département de mathématiques, université de Lille 1, 59650 Villeneuve dʼAscq cedex, France
³ 4, rue Becagrun, 30980 Saint Dionisy, France

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Laurent Gruson; Youssef Hantout; Daniel Lehmann. Courbes algébriques ordinaires et tissus associés. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518. doi : 10.1016/j.crma.2012.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.05.005/

Bibliographie
Cité par

[1] V. Cavalier; D. Lehmann Ordinary holomorphic webs of codimension one, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, cl. Sci. (5), Volume XI (2012), pp. 197-214 (preprint 13/10/2008) | arXiv

[2] V. Cavalier; D. Lehmann Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008)

[3] D. Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, 1994

[4] G. Ellingsud Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans $P_{e}$ à cône de Cohen–Macaulay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., Volume 8 (1975) no. 4, pp. 423-431

[5] L. Gruson; C. Peskine Genre des courbes de lʼespace projectif, Tromsø 1977 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 687, Springer Verlag (1978), pp. 31-59

[6] J. Harris Curves in Projective Space, Les Presses de lʼUniversité de Montréal, 1982 Chapter III (with the collaboration of D. Eisenbud)

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