Comptes Rendus
Géométrie algébrique/Systèmes dynamiques
Courbes algébriques ordinaires et tissus associés
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518.

Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe Pn (n3,dn). Notons c(n,h) la dimension (n1+hn1) de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et k0 lʼentier ⩾1 tel que c(n,k0)d<c(n,k0+1). Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de Pn, qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane ΓH, est vide si hk0, et est un espace projectif de dimension égale à c(n,h)d1 si h>k0. Pour k02, ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans Pˇn est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre π(n,d)=h=1k0(dc(n,h)) (=k0dc(n+1,k0)+1), et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour n=3, et tout degré d3, la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert Hd,π(3,d).

Par contraste, les courbes intersections complètes de n1 hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si k02.

Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space Pn (n3,dn). Denoting by c(n,h) the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let k0 be the integer (⩾1) such that c(n,k0)d<c(n,k0+1). The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of Pn which have degree h and contain the hyperplane section ΓH, is empty if hk0, and is a projective space of dimension c(n,h)d1 if h>k0. Equivalently when k02, the associated web in Pˇn of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number π(n,d)=h=1k0(dc(n,h)) (=k0dc(n+1,k0)+1), and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For n=3 and any d3, the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme Hd,π(3,d).

By contrast, the complete intersection of n1 algebraic hypersurfaces is never ordinary if k02.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2012.05.005

Laurent Gruson 1 ; Youssef Hantout 2 ; Daniel Lehmann 3

1 Département de mathématiques, université de Versailles, 45, avenue des Etats Unis, 78035 Versailles, France
2 Département de mathématiques, université de Lille 1, 59650 Villeneuve dʼAscq cedex, France
3 4, rue Becagrun, 30980 Saint Dionisy, France
@article{CRMATH_2012__350_9-10_513_0,
     author = {Laurent Gruson and Youssef Hantout and Daniel Lehmann},
     title = {Courbes alg\'ebriques ordinaires et tissus associ\'es},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {513--518},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {350},
     number = {9-10},
     year = {2012},
     doi = {10.1016/j.crma.2012.05.005},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Laurent Gruson
AU  - Youssef Hantout
AU  - Daniel Lehmann
TI  - Courbes algébriques ordinaires et tissus associés
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2012
SP  - 513
EP  - 518
VL  - 350
IS  - 9-10
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2012.05.005
LA  - fr
ID  - CRMATH_2012__350_9-10_513_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Laurent Gruson
%A Youssef Hantout
%A Daniel Lehmann
%T Courbes algébriques ordinaires et tissus associés
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2012
%P 513-518
%V 350
%N 9-10
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2012.05.005
%G fr
%F CRMATH_2012__350_9-10_513_0
Laurent Gruson; Youssef Hantout; Daniel Lehmann. Courbes algébriques ordinaires et tissus associés. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518. doi : 10.1016/j.crma.2012.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.05.005/

[1] V. Cavalier; D. Lehmann Ordinary holomorphic webs of codimension one, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, cl. Sci. (5), Volume XI (2012), pp. 197-214 (preprint 13/10/2008) | arXiv

[2] V. Cavalier; D. Lehmann Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008)

[3] D. Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, 1994

[4] G. Ellingsud Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans Pe à cône de Cohen–Macaulay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., Volume 8 (1975) no. 4, pp. 423-431

[5] L. Gruson; C. Peskine Genre des courbes de lʼespace projectif, Tromsø 1977 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 687, Springer Verlag (1978), pp. 31-59

[6] J. Harris Curves in Projective Space, Les Presses de lʼUniversité de Montréal, 1982 Chapter III (with the collaboration of D. Eisenbud)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique