Géométrie algébrique/Systèmes dynamiques
Courbes algébriques ordinaires et tissus associés
[Ordinary algebraic curves and associated webs]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518.

Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space $Pn$ $(n⩾3,d⩾n)$. Denoting by $c(n,h)$ the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let $k0$ be the integer (⩾1) such that $c(n,k0)⩽d. The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of $Pn$ which have degree h and contain the hyperplane section $Γ∩H$, is empty if $h⩽k0$, and is a projective space of dimension $c(n,h)−d−1$ if $h>k0$. Equivalently when $k0⩾2$, the associated web in $Pˇn$ of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number $π′(n,d)=∑h=1k0(d−c(n,h))$ $(=k0d−c(n+1,k0)+1)$, and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For $n=3$ and any $d⩾3$, the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme $Hd,π′(3,d)$.

By contrast, the complete intersection of $n−1$ algebraic hypersurfaces is never ordinary if $k0⩾2$.

Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe $Pn$ $(n⩾3,d⩾n)$. Notons $c(n,h)$ la dimension $(n−1+hn−1)$ de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et $k0$ lʼentier ⩾1 tel que $c(n,k0)⩽d. Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de $Pn$, qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane $Γ∩H$, est vide si $h⩽k0$, et est un espace projectif de dimension égale à $c(n,h)−d−1$ si $h>k0$. Pour $k0⩾2$, ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans $Pˇn$ est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre $π′(n,d)=∑h=1k0(d−c(n,h))$ $(=k0d−c(n+1,k0)+1)$, et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour $n=3$, et tout degré $d⩾3$, la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert $Hd,π′(3,d)$.

Par contraste, les courbes intersections complètes de $n−1$ hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si $k0⩾2$.

Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2012.05.005

Laurent Gruson 1; Youssef Hantout 2; Daniel Lehmann 3

1 Département de mathématiques, université de Versailles, 45, avenue des Etats Unis, 78035 Versailles, France
2 Département de mathématiques, université de Lille 1, 59650 Villeneuve dʼAscq cedex, France
3 4, rue Becagrun, 30980 Saint Dionisy, France
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Laurent Gruson; Youssef Hantout; Daniel Lehmann. Courbes algébriques ordinaires et tissus associés. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518. doi : 10.1016/j.crma.2012.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.05.005/

[1] V. Cavalier; D. Lehmann Ordinary holomorphic webs of codimension one, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, cl. Sci. (5), Volume XI (2012), pp. 197-214 (preprint 13/10/2008) | arXiv

[2] V. Cavalier; D. Lehmann Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008)

[3] D. Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, 1994

[4] G. Ellingsud Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans $Pe$ à cône de Cohen–Macaulay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., Volume 8 (1975) no. 4, pp. 423-431

[5] L. Gruson; C. Peskine Genre des courbes de lʼespace projectif, Tromsø 1977 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 687, Springer Verlag (1978), pp. 31-59

[6] J. Harris Curves in Projective Space, Les Presses de lʼUniversité de Montréal, 1982 Chapter III (with the collaboration of D. Eisenbud)

Cited by Sources: