The indecomposable tournaments <i>T</i> with $ |{W}_{5}(T)|=|T|-2$

Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous; Kaouthar Hzami

doi:10.1016/j.crma.2013.07.021

Combinatorics

The indecomposable tournaments T with

| W_{5} (T) | = | T | - 2

[Les tournois indécomposables T tels que

| W_{5} (T) | = | T | - 2

]

Présenté par : the Editorial Board

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ² ; Kaouthar Hzami ³

¹ Carthage University, Bizerte Preparatory Engineering Institute, Tunisia
² Sfax University, Sfax Preparatory Engineering Institute, Tunisia
³ Gabes University, Higher Institute of Computer Sciences and Multimedia of Gabes, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 13-14, pp. 501-504.

Résumé
Abstract

Considérons un tournoi $T = (V, A)$ . Pour $X \subseteq V$ , le sous-tournoi de T induit par X est $T [X] = (X, A \cap (X \times X))$ . Un intervalle de T est une partie X de V telle que, pour tous $a, b \in X$ et $x \in V ∖ X$ , $(a, x) \in A$ si et seulement si $(b, x) \in A$ . Les intervalles triviaux de T sont ∅, ${x} (x \in V)$ et V. Un tournoi est indécomposable si tous ses intervalles sont triviaux. Pour $n ⩾ 2$ , $W_{2 n + 1}$ est lʼunique tournoi indécomposable défini sur ${0, \dots, 2 n}$ tel que $W_{2 n + 1} [{0, \dots, 2 n - 1}]$ est lʼordre total usuel. Étant donné un tournoi indécomposable T, $W_{5} (T)$ désigne lʼensemble des sommets $v \in V$ pour lesquels il existe une partie W de V telle que $v \in W$ et $T [W]$ est isomorphe à $W_{5}$ . Latka [6] a caractérisé les tournois indécomposables T tels que $W_{5} (T) = \emptyset$ . Les auteurs [1] ont prouvé que, si $W_{5} (T) \neq \emptyset$ , alors $| W_{5} (T) | ⩾ | V | - 2$ . Dans cette note, nous caractérisons les tournois indécomposables T tels que $| W_{5} (T) | = | V | - 2$ .

We consider a tournament $T = (V, A)$ . For $X \subseteq V$ , the subtournament of T induced by X is $T [X] = (X, A \cap (X \times X))$ . An interval of T is a subset X of V such that, for $a, b \in X$ and $x \in V ∖ X$ , $(a, x) \in A$ if and only if $(b, x) \in A$ . The trivial intervals of T are ∅, ${x} (x \in V)$ and V. A tournament is indecomposable if all its intervals are trivial. For $n ⩾ 2$ , $W_{2 n + 1}$ denotes the unique indecomposable tournament defined on ${0, \dots, 2 n}$ such that $W_{2 n + 1} [{0, \dots, 2 n - 1}]$ is the usual total order. Given an indecomposable tournament T, $W_{5} (T)$ denotes the set of $v \in V$ such that there is $W \subseteq V$ satisfying $v \in W$ and $T [W]$ is isomorphic to $W_{5}$ . Latka [6] characterized the indecomposable tournaments T such that $W_{5} (T) = \emptyset$ . The authors [1] proved that if $W_{5} (T) \neq \emptyset$ , then $| W_{5} (T) | ⩾ | V | - 2$ . In this note, we characterize the indecomposable tournaments T such that $| W_{5} (T) | = | V | - 2$ .

Reçu le : 2013-06-30
Accepté le : 2013-07-31
Publié le : 2013-07-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.07.021

Affiliations des auteurs :

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ² ; Kaouthar Hzami ³

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AU  - Houmem Belkhechine
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Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous; Kaouthar Hzami. The indecomposable tournaments T with $ |{W}_{5}(T)|=|T|-2$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 13-14, pp. 501-504. doi : 10.1016/j.crma.2013.07.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.07.021/

Bibliographie
Cité par

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