Duality for non-convex variational problems

Guy Bouchitté; Ilaria Fragalà

doi:10.1016/j.crma.2015.01.014

Calculus of variations

Duality for non-convex variational problems
[Dualité pour des problèmes variationnels non convexes]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Guy Bouchitté ¹ ; Ilaria Fragalà ²

¹ Laboratoire IMATH, Université de Toulon et du Var, 83957 La Garde cedex, France
² Dipartimento di Matematica, Politecnico, Piazza Leonardo da Vinci, 20133 Milano, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 4, pp. 375-379.

Résumé
Abstract

On considère des problèmes classiques en calcul de variations de la forme (1), ou Ω est un ouvert borné de $R^{N}$ , $(Γ_{0}, Γ_{1})$ une partition de ∂Ω, γ une fonction lipschitzienne et $f = f (t, z)$ est une fonction s.c.i. qui vérifie des hypothèses de croissance, avec dépendence convexe en z mais a priori non convexe en t. On présente une nouvelle théorie de dualité, où le problème dual apparaît comme un problème de programmation linéaire. L'existence d'une solution à ce problème constitue une question délicate. Dans cette note, elle est obtenue en dimension un, et en dimension supérieure moyennant quelques hypothèses supplémentaires. Nos résultats s'appliquent à des problèmes de transition de phase et à frontière libre.

We consider classical problems of the calculus of variations of the kind

I (Ω) : = \inf {\int_{Ω} f (u, \nabla u) d x + \int_{Γ_{1}} γ (u) d H^{N - 1}, u = u_{0} on Γ_{0}}

(1)

where Ω is an open bounded subset of

R^{N}

(Γ_{0}, Γ_{1})

is a partition of ∂Ω, γ is a Lipschitz function, and

f = f (t, z)

is an l.s.c. function satisfying suitable growth conditions, which is convex in z, but possibly not in t. We present a new duality theory in which the dual problem reads quite nicely as a linear programming problem. The solvability of such a dual problem is a major issue. It can be achieved in the one-dimensional case, and in higher dimensions under special assumptions on f. Our results apply to phase transition and free-boundary problems.

Reçu le : 2014-09-11
Accepté le : 2015-01-28
Publié le : 2015-02-21

DOI : 10.1016/j.crma.2015.01.014

Affiliations des auteurs :

Guy Bouchitté ¹ ; Ilaria Fragalà ²

¹ Laboratoire IMATH, Université de Toulon et du Var, 83957 La Garde cedex, France
² Dipartimento di Matematica, Politecnico, Piazza Leonardo da Vinci, 20133 Milano, Italy

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Guy Bouchitté; Ilaria Fragalà. Duality for non-convex variational problems. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 4, pp. 375-379. doi : 10.1016/j.crma.2015.01.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.01.014/

Bibliographie
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