Global-in-time existence of weak solutions to Kolmogorov's two-equation model of turbulence

Alexander Mielke; Joachim Naumann

doi:10.1016/j.crma.2015.02.003

Partial differential equations

Global-in-time existence of weak solutions to Kolmogorov's two-equation model of turbulence
[Sur l'existence globale en temps des solutions faibles pour le modèle de turbulence à deux équations de Kolmogorov]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Alexander Mielke ^1,² ; Joachim Naumann ²

¹ Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics, Mohrenstraße 39, 10117 Berlin, Germany
² Department of Mathematics, Humboldt University Berlin, Unter den Linden 6, 10099 Berlin, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 4, pp. 321-326.

Résumé
Abstract

On considére le modèle de Kolmogorov pour l'écoulement turbulent d'un liquide incompressible dans $R^{3}$ . Ce modèle consiste d'un système de type Navier–Stokes pour la vitesse moyenne u d'écoulement et de deux équations aux derivées partielles additionnelles : une équation pour la fréquence ω et une pour l'énergie cinétique k de turbulence. Nous considérons ce système d'équations aux derivées partielles dans un cylindre $Ω \times] 0, T [$ ( $Ω \subset R^{3}$ cube, $0 < T < + \infty$ ) avec des conditions aux limites périodiques spatiales sur $\partial Ω \times] 0, T [$ et des conditions initiales dans $Ω \times {0}$ . Nous présentons un résultat sur l'existence d'une solution faible ${u, ω, k}$ du problème envisagé où ω, k vérifient les inégalités $c_{1} + t \leq \frac{1}{ω} \leq t + c_{2}$ et $\frac{k^{1 / 2}}{ω} \geq c_{3} t^{1 / 2}$ ( $c_{1}, c_{2}, c_{3} = const > 0$ ).

We consider Kolmogorov's model for the turbulent motion of an incompressible fluid in $R^{3}$ . This model consists in a Navier–Stokes-type system for the mean flow u and two further partial differential equations: an equation for the frequency ω and for the kinetic energy k each. We investigate this system of partial differential equations in a cylinder $Ω \times] 0, T [$ ( $Ω \subset R^{3}$ cube, $0 < T < + \infty$ ) under spatial periodic boundary conditions on $\partial Ω \times] 0, T [$ and initial conditions in $Ω \times {0}$ . We present an existence result for a weak solution ${u, ω, k}$ to the problem under consideration, with ω, k obeying the inequalities $c_{1} + t \leq \frac{1}{ω} \leq t + c_{2}$ and $\frac{k^{1 / 2}}{ω} \geq c_{3} t^{1 / 2}$ ( $c_{1}, c_{2}, c_{3} = const > 0$ ).

Reçu le : 2014-11-03
Accepté le : 2015-02-10
Publié le : 2015-02-27

DOI : 10.1016/j.crma.2015.02.003

Affiliations des auteurs :

Alexander Mielke ^{1, 2} ; Joachim Naumann ²

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Alexander Mielke; Joachim Naumann. Global-in-time existence of weak solutions to Kolmogorov's two-equation model of turbulence. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 4, pp. 321-326. doi : 10.1016/j.crma.2015.02.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.02.003/

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