Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié

Vincent Cossart; Olivier Piltant; Bernd Schober

doi:10.1016/j.crma.2017.02.006

Géométrie algébrique

Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié
[Ridge of the tangent cone of a singularity: A forgotten theorem]

Presented by: Claire Voisin

Vincent Cossart ¹; Olivier Piltant ¹; Bernd Schober ^2,³

¹ Laboratoire de mathématiques, LMV UMR 8100, Université de Versailles, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France
² The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada
³ University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 455-459.

Abstract
Résumé

Let $X$ be an excellent scheme; we denote by $H_{X}$ the modified Hilbert–Samuel function. This function is upper semi-continuous along $X$ and does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. When $X$ is embedded in a regular ambient scheme, for all $x \in X$ , the “stable τ at x” (“τ stable de x”), denoted by $τ_{st} (x)$ , is the codimension of the ridge of the tangent cone of $X$ at x in the tangent cone of $W$ at x. It is well known that the function

ι : X \to N^{N} \times - N, x \mapsto (H_{X} (x), - τ_{st} (x)),

does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. In this note, we show that ι is upper semi-continuous along

X

. This result is generalized to the non-embedded case.

Soit $X$ un schéma excellent ; on note $H_{X}$ la fonction de Hilbert–Samuel modifiée. Cette fonction est semi-continue supérieurement le long de $X$ et décroissante (au sens large) par éclatements permis. Dans le cas où $X$ est plongé dans un ambiant régulier, pour tout $x \in X$ , le « τ stable de x », noté $τ_{st} (x)$ , est la codimension du faîte du cône tangent de $X$ en x dans le cône tangent de $W$ en x. Il est connu que la fonction

ι : X \to N^{N} \times - N, x \mapsto (H_{X} (x), - τ_{st} (x)),

est décroissante (au sens large) par éclatements permis pour l'ordre lexicographique. Dans cette note, nous montrons que ι est semi continue supérieurement sur

X

. Nous généralisons au cas non plongé.

Received: 2016-11-18
Accepted: 2017-02-11
Published online: 2017-03-11

DOI: 10.1016/j.crma.2017.02.006

Author's affiliations:

Vincent Cossart ¹; Olivier Piltant ¹; Bernd Schober ^{2, 3}

¹ Laboratoire de mathématiques, LMV UMR 8100, Université de Versailles, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France
² The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada
³ University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada

@article{CRMATH_2017__355_4_455_0,
     author = {Vincent Cossart and Olivier Piltant and Bernd Schober},
     title = {Fa{\^\i}te du c\^one tangent \`a une singularit\'e : un th\'eor\`eme oubli\'e},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {455--459},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {355},
     number = {4},
     year = {2017},
     doi = {10.1016/j.crma.2017.02.006},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Vincent Cossart
AU  - Olivier Piltant
AU  - Bernd Schober
TI  - Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2017
SP  - 455
EP  - 459
VL  - 355
IS  - 4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2017.02.006
LA  - fr
ID  - CRMATH_2017__355_4_455_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Vincent Cossart
%A Olivier Piltant
%A Bernd Schober
%T Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2017
%P 455-459
%V 355
%N 4
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2017.02.006
%G fr
%F CRMATH_2017__355_4_455_0

Vincent Cossart; Olivier Piltant; Bernd Schober. Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 455-459. doi : 10.1016/j.crma.2017.02.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.02.006/

References
Cited by

[1] B.M. Bennett On the characteristic functions of a local ring, Ann. of Math. (2), Volume 91 (1970) no. 1, pp. 25-87

[2] V. Cossart; U. Jannsen; S. Saito Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes, 2009 (preprint pp. 1–169) | arXiv

[3] J. Giraud Étude locale des singularités, Cours de $3^{e}$ cycle, Publ. Math. d'Orsay, vol. 26, Université Paris-11, Orsay, France, 1972

[4] J. Giraud Contact maximal en caractéristique positive, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 8 (1975), pp. 201-234

[5] H. Hironaka Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Ann. Math., Volume 79 (1964), pp. 109-326

[6] H. Matsumura Commutative Algebra, Mathematics Lecture Note Series, vol. 56, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1980

[7] A. Voitovich Reduction to directrix-near points in resolution of singularities of schemes, Université de Ratisbonne, Allemagne, 2015 (thèse)

Cited by Sources:

Comments - Policy