Comptes Rendus
no. 4
Géométrie algébrique
Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié

Présenté par : Claire Voisin

Vincent Cossart1 ; Olivier Piltant1 ; Bernd Schober2, 3
1 Laboratoire de mathématiques, LMV UMR 8100, Université de Versailles, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France
2 The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada
3 University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 455-459.

Soit X un schéma excellent ; on note HX la fonction de Hilbert–Samuel modifiée. Cette fonction est semi-continue supérieurement le long de X et décroissante (au sens large) par éclatements permis. Dans le cas où X est plongé dans un ambiant régulier, pour tout x∈X, le « τ stable de x », noté τst(x), est la codimension du faîte du cône tangent de X en x dans le cône tangent de W en x. Il est connu que la fonction

ι:X→NN×−N,x↦(HX(x),−τst(x)),
est décroissante (au sens large) par éclatements permis pour l'ordre lexicographique. Dans cette note, nous montrons que ι est semi continue supérieurement sur X. Nous généralisons au cas non plongé.

Let X be an excellent scheme; we denote by HX the modified Hilbert–Samuel function. This function is upper semi-continuous along X and does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. When X is embedded in a regular ambient scheme, for all x∈X, the “stable τ at x” (“τ stable de x”), denoted by τst(x), is the codimension of the ridge of the tangent cone of X at x in the tangent cone of W at x. It is well known that the function

ι:X→NN×−N,x↦(HX(x),−τst(x)),
does not increase for the lexicographical ordering after permissible blowing ups. In this note, we show that ι is upper semi-continuous along X. This result is generalized to the non-embedded case.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2017.02.006
Vincent Cossart 1 ; Olivier Piltant 1 ; Bernd Schober 2, 3

1 Laboratoire de mathématiques, LMV UMR 8100, Université de Versailles, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France
2 The Fields Institute, 222 College Street, Toronto ON M5T 3J1, Canada
3 University of Toronto, Department of Mathematics, 40 St. George Street, Toronto ON M5S 2E4, Canada 
@article{CRMATH_2017__355_4_455_0,
     author = {Vincent Cossart and Olivier Piltant and Bernd Schober},
     title = {Fa{\^\i}te du c\^one tangent \`a une singularit\'e : un th\'eor\`eme oubli\'e},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {455--459},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {355},
     number = {4},
     year = {2017},
     doi = {10.1016/j.crma.2017.02.006},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Vincent Cossart
AU  - Olivier Piltant
AU  - Bernd Schober
TI  - Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2017
SP  - 455
EP  - 459
VL  - 355
IS  - 4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2017.02.006
LA  - fr
ID  - CRMATH_2017__355_4_455_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Vincent Cossart
%A Olivier Piltant
%A Bernd Schober
%T Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2017
%P 455-459
%V 355
%N 4
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2017.02.006
%G fr
%F CRMATH_2017__355_4_455_0
Vincent Cossart; Olivier Piltant; Bernd Schober. Faîte du cône tangent à une singularité : un théorème oublié. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 4, pp. 455-459. doi : 10.1016/j.crma.2017.02.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.02.006/

[1] B.M. Bennett On the characteristic functions of a local ring, Ann. of Math. (2), Volume 91 (1970) no. 1, pp. 25-87

[2] V. Cossart; U. Jannsen; S. Saito Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes, 2009 (preprint pp. 1–169) | arXiv

[3] J. Giraud Étude locale des singularités, Cours de 3e cycle, Publ. Math. d'Orsay, vol. 26, Université Paris-11, Orsay, France, 1972

[4] J. Giraud Contact maximal en caractéristique positive, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 8 (1975), pp. 201-234

[5] H. Hironaka Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Ann. Math., Volume 79 (1964), pp. 109-326

[6] H. Matsumura Commutative Algebra, Mathematics Lecture Note Series, vol. 56, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1980

[7] A. Voitovich Reduction to directrix-near points in resolution of singularities of schemes, Université de Ratisbonne, Allemagne, 2015 (thèse)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

ABC and the Hasse principle for quadratic twists of hyperelliptic curves

Pete L. Clark; Lori D. Watson

C. R. Math (2018)

Integrable clusters

Arkady Berenstein; Jacob Greenstein; David Kazhdan

C. R. Math (2015)

On the cohomology of semi-stable p-adic Galois representations

Yi Ouyang; Jinbang Yang

C. R. Math (2014)