On the Gromov non-hyperbolicity of certain domains in $ {\mathbb{C}}^{n}$

Fathi Haggui; Abdelwahed Chrih

doi:10.1016/j.crma.2017.03.013

Complex analysis

On the Gromov non-hyperbolicity of certain domains in

C^{n}

[Sur la non Gromov hyperbolicité de certains domaines de

C^{n}

]

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Fathi Haggui ¹ ; Abdelwahed Chrih ¹

¹ Université de Monastir, Institut préparatoire aux études d'ingénieur de Monastir, 5019 Monastir, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 5, pp. 493-498.

Résumé
Abstract

Nous étudions dans cette Note l'hyperbolicité au sens de Gromov de certains domaines de $C^{n}$ . On démontre que, si Ω est un domaine convexe borné de $C^{n}$ , $n \geq 2$ , et si S est un hyperplan affine complexe tel que $Ω \cap S \neq \emptyset$ , alors $Ω ∖ S$ n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Si X est un domaine convexe de $C^{n}$ , alors $Ω = {(z, w) \in X \times C^{⁎}, | w | < e^{- φ (z)}}$ n'est pas Gromov hyperbolique, où φ est une fonction strictement plurisousharmonique sur X et continue sur $\overline{X}$ .

In this paper, we prove that if Ω is a bounded convex domain in $C^{n}$ , $n \geq 2$ , and S is an affine complex hyperplane such that $Ω \cap S$ is not empty, then $Ω ∖ S$ is not Gromov hyperbolic with respect to the Kobayashi distance. Next, we show that if X is a bounded convex domain in $C^{n}$ , then $Ω = {(z, w) \in X \times C^{⁎}, | w | < e^{- φ (z)}}$ is not Gromov hyperbolic, where φ is a strictly plurisubaharmonic function on X continuous up to $\overline{X}$ .

Reçu le : 2016-08-28
Accepté le : 2017-03-23
Publié le : 2017-04-06

DOI : 10.1016/j.crma.2017.03.013

Affiliations des auteurs :

Fathi Haggui ¹ ; Abdelwahed Chrih ¹

¹ Université de Monastir, Institut préparatoire aux études d'ingénieur de Monastir, 5019 Monastir, Tunisia

@article{CRMATH_2017__355_5_493_0,
     author = {Fathi Haggui and Abdelwahed Chrih},
     title = {On the {Gromov} non-hyperbolicity of certain domains in $ {\mathbb{C}}^{n}$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {493--498},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {355},
     number = {5},
     year = {2017},
     doi = {10.1016/j.crma.2017.03.013},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Fathi Haggui
AU  - Abdelwahed Chrih
TI  - On the Gromov non-hyperbolicity of certain domains in $ {\mathbb{C}}^{n}$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2017
SP  - 493
EP  - 498
VL  - 355
IS  - 5
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2017.03.013
LA  - en
ID  - CRMATH_2017__355_5_493_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Fathi Haggui
%A Abdelwahed Chrih
%T On the Gromov non-hyperbolicity of certain domains in $ {\mathbb{C}}^{n}$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2017
%P 493-498
%V 355
%N 5
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2017.03.013
%G en
%F CRMATH_2017__355_5_493_0

Fathi Haggui; Abdelwahed Chrih. On the Gromov non-hyperbolicity of certain domains in $ {\mathbb{C}}^{n}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 5, pp. 493-498. doi : 10.1016/j.crma.2017.03.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.03.013/

Bibliographie
Cité par

[1] Z.M. Balogh; M. Bonk Gromov hyperbolicity and the Kobayashi metric on strictly pseudoconvex domains, Comment. Math. Helv., Volume 75 (2000), pp. 504-533

[2] S. Buyalo; V. Schroeder Elements of Asymptotic Geometry, EMS Monographs in Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zurich, Switzerland, 2007

[3] M. Coornaert; T. Delzant; A. Papadopoulos Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov, I.R.M.A., Strasbourg, France, 1989

[4] N.Q. Dieu; D.D. Thai Complete hyperbolicity of Hartogs domain, Manuscr. Math., Volume 112 (2003), pp. 171-181

[5] H. Gaussier, H. Seshadri, On the Gromov hyperbolicity of convex domains in $C^{n}$ . ArXiv e-prints, December 2013.

[6] M. Gromov Hyperbolic groups, Essays in Group Theory, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 8, Springer, New York, 1987, pp. 75-263

[7] S. Ivashkovich; J.P. Rosay Schwartz-type lemmas for solutions of $\bar{\partial}$ -inequalities and complete hyperbolicity of almost complex manifolds, Ann. Inst. Fourier Grenoble, Volume 54 (2004) no. 7, pp. 2387-2435

[8] S. Kobayashi Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Fundamental Principles of Mathematical Sciences, vol. 318, Springer-Verlag, Berlin, 1998

[9] N. Nikolov, P.J. Thomas, M. Trybula, Gromov (non)hyperbolicity of certain domains in $C^{2}$ . ArXiv e-prints, March 2014.

[10] A.M. Zimmer, Gromov hyperbolicity and the Kobayashi metric on convex domain of finite type, Math. Ann., . | DOI

Cité par Sources :

Commentaires - Politique