Continuité des racines d’après Rabinoff

Emeryck Marie

doi:10.5802/crmath.439

Géométrie algébrique

Continuité des racines d’après Rabinoff

Emeryck Marie ¹

¹ Technische Universität Chemnitz, Fakultät für Mathematik, Reichenhainer Straße 39, 09126 Chemnitz, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 685-696.

Résumé
Abstract

Ce papier propose une généralisation d’un théorème de Joseph Rabinoff : si $𝒫$ est une famille finie de polyèdres rationnels pointés dans $N_{ℝ}$ telle qu’il existe un éventail dans $N_{ℝ}$ contenant tous les cônes de récession des polyèdres de $𝒫$ , si $k$ est un corps non archimédien complet, si $S$ est un espace $k$ -analytique (au sens de Berkovich) régulier connexe et $Y$ un fermé $k$ -analytique de $U_{𝒫} \times_{k} S$ de complète intersection relative et contenu dans l’intérieur relatif de $U_{𝒫} \times_{k} S$ au-dessus de $S$ , alors la quasi-finitude du morphisme $π : Y \to S$ implique sa platitude et sa finitude. De plus, toutes les fibres finies de $π$ ont la même longueur. Cela fournit notamment une justification analytique au concept d’intersection stable utilisé en théorie de l’intersection tropicale.

The content of this paper is a generalization of a theorem by Joseph Rabinoff: if $𝒫$ is a finite family of pointed and rational polyhedra in $N_{ℝ}$ such that there exists a fan in $N_{ℝ}$ that contains all the recession cones of the polyhedra of $𝒫$ , if $k$ is a complete non-archimedean field, if $S$ is a connected and regular $k$ -analytic space (in the sense of Berkovich) and $Y$ is a closed $k$ -analytic subset of $U_{𝒫} \times_{k} S$ which is relative complete intersection and contained in the relative interior of $U_{𝒫} \times_{k} S$ over $S$ , then the quasifiniteness of $π : Y \to S$ implies its flatness and finiteness; moreover, all the finite fibers of $π$ have the same length. This namely gives a analytic justification to the concept of stable intersection used in the theory of tropical intersection.

Reçu le : 2021-11-24
Révisé le : 2022-08-01
Accepté le : 2022-10-19
Publié le : 2023-03-02

DOI : 10.5802/crmath.439

Affiliations des auteurs :

Emeryck Marie ¹

¹ Technische Universität Chemnitz, Fakultät für Mathematik, Reichenhainer Straße 39, 09126 Chemnitz, Germany

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Emeryck Marie. Continuité des racines d’après Rabinoff. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 685-696. doi : 10.5802/crmath.439. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.439/

Bibliographie
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