Some remarks on the ergodic theorem for $U$-statistics

Herold Dehling; Davide Giraudo; Dalibor Volný

doi:10.5802/crmath.494

Probabilités, Statistiques

Some remarks on the ergodic theorem for

U

-statistics
[Quelques remarques sur le théorème ergodique pour les

U

-statistiques]

Herold Dehling ¹ ; Davide Giraudo ² ; Dalibor Volný ³

¹ Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum, 44780 Bochum, Germany
² Institut de Recherche Mathématique Avancée UMR 7501, Université de Strasbourg and CNRS 7 rue René Descartes 67000 Strasbourg, France
³ University de Rouen, LMRS and CNRS UMR 6085.

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1511-1519.

Résumé
Abstract

Dans cette note, nous étudions le théorème ergodique pour des $U$ -statisques d’ordre 2 dont les données sont issues d’une suite strictement stationnaire. Nous présentons des conditions suffisantes pour la convergence presque sûre et dans $L^{1}$ ainsi que des contre-exemples montrant que la $U$ -statistique seule peut ne pas converger : un terme de centrage est requis ainsi que la finitude de ${sup}_{j \geq 2} 𝔼 [| h (X_{1}, X_{j}) |]$ .

In this note, we investigate the convergence of a $U$ -statistic of order two having stationary ergodic data. We will find sufficient conditions for the almost sure and $L^{1}$ convergence and present some counter-examples showing that the $U$ -statistic itself might fail to converge: centering is needed as well as finiteness of ${sup}_{j \geq 2} 𝔼 [| h (X_{1}, X_{j}) |]$ .

Reçu le : 2023-02-09
Accepté le : 2023-03-31
Publié le : 2023-11-10

DOI : 10.5802/crmath.494

Classification : 37A30, 60F05

Affiliations des auteurs :

Herold Dehling ¹ ; Davide Giraudo ² ; Dalibor Volný ³

¹ Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum, 44780 Bochum, Germany
² Institut de Recherche Mathématique Avancée UMR 7501, Université de Strasbourg and CNRS 7 rue René Descartes 67000 Strasbourg, France
³ University de Rouen, LMRS and CNRS UMR 6085.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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Herold Dehling; Davide Giraudo; Dalibor Volný. Some remarks on the ergodic theorem for $U$-statistics. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1511-1519. doi : 10.5802/crmath.494. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.494/

Bibliographie
Cité par

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