Comptes Rendus
Article de recherche - Théorie des nombres
Riemann–Roch for the ring ℤ
[Riemann–Roch pour l’anneau ℤ]
Alain Connes1, 2  ; Caterina Consani3
1 Collège de France, 3 rue d’Ulm F-75005 Paris, France
2 IHES, 35 Rte de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
3 Department of Mathematics, Johns Hopkins University, Baltimore MD 21218, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 229-235.

Nous montrons que l’utilisation de la base absolue 𝕊 (la version catégorique du spectre en sphère) au lieu de 𝕊[±1], améliore notre formule de Riemann–Roch précédente pour Specℤ ¯. La formule calcule la caractéristique d’Euler (à valeur entière) d’un diviseur d’Arakelov comme la somme du degré du diviseur (en utilisant des logarithmes de base 2) et le nombre 1, confirmant ainsi la compréhension de l’anneau ℤ comme un anneau de polynômes en une variable sur la base absolue 𝕊,à savoir 𝕊[X],1+1=X+X 2 .

We show that by working over the absolute base 𝕊 (the categorical version of the sphere spectrum) instead of 𝕊[±1] improves our previous Riemann–Roch formula for Specℤ ¯. The formula equates the (integer valued) Euler characteristic of an Arakelov divisor with the sum of the degree of the divisor (using logarithms with base 2) and the number 1, thus confirming the understanding of the ring ℤ as a ring of polynomials in one variable over the absolute base 𝕊, namely 𝕊[X],1+1=X+X 2 .

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Publié le :
DOI : 10.5802/crmath.543
Classification : 14C40, 14G40, 14H05, 11R56, 13F35, 18N60, 19D55
Alain Connes 1, 2 ; Caterina Consani 3

1 Collège de France, 3 rue d’Ulm F-75005 Paris, France
2 IHES, 35 Rte de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
3 Department of Mathematics, Johns Hopkins University, Baltimore MD 21218, USA
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Alain Connes; Caterina Consani. Riemann–Roch for the ring $\mathbb{Z}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 229-235. doi : 10.5802/crmath.543. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.543/

[1] A. Connes; C. Consani Absolute algebra and Segal’s γ-rings: au dessous de Spec(ℤ) ¯, J. Number Theory, Volume 162 (2016), pp. 518-551 | DOI | MR | Zbl

[2] A. Connes; C. Consani Riemann-Roch for Specℤ ¯ (2023) (to appear in Bulletin des Sciences Mathématiques) | arXiv

[3] Bjørn Ian Dundas; Thomas G. Goodwillie; Randy McCarthy The local structure of algebraic K-theory, Algebra and Applications, 18, Springer, 2013 | DOI | Zbl

Cité par Sources :

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