Some properties of a modified Hilbert transform

Matteo Ferrari

doi:10.5802/crmath.600

Article de recherche - Analyse numérique

Some properties of a modified Hilbert transform
[Quelques propriétés d’une transformée de Hilbert modifiée]

Matteo Ferrari ¹

¹ University of Vienna, Faculty of Mathematics, Oskar-Morgenstern-Platz 1, 1090, Vienna, Austria

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 799-806.

Résumé
Abstract

Récemment, Steinbach et al. ont introduit un nouvel opérateur $ℋ_{T} : L^{2} (0, T) \to L^{2} (0, T)$ , connu sous le nom de transformée de Hilbert modifiée. Cet opérateur a montré son importance dans les formulations spatio-temporelles liées aux équations de la chaleur et des ondes. Dans cet article, nous établissons un lien direct entre la transformée de Hilbert modifiée $ℋ_{T}$ et la transformée de Hilbert canonique $ℋ$ . Plus précisément, nous prouvons la relation $ℋ_{T} φ = - ℋ \tilde{φ}$ , où $φ \in L^{2} (0, T)$ et $\tilde{φ}$ est une extension appropriée de $φ$ sur l’ensemble de $ℝ$ . En tirant parti de ce résultat crucial, nous déduisons certaines propriétés de $ℋ_{T}$ , y compris une nouvelle formule d’inversion, qui émergent comme des conséquences immédiates de résultats bien établis sur $ℋ$ .

Recently, Steinbach et al. introduced a novel operator $ℋ_{T} : L^{2} (0, T) \to L^{2} (0, T)$ , known as the modified Hilbert transform. This operator has shown its significance in space-time formulations related to the heat and wave equations. In this paper, we establish a direct connection between the modified Hilbert transform $ℋ_{T}$ and the canonical Hilbert transform $ℋ$ . Specifically, we prove the relationship $ℋ_{T} φ = - ℋ \tilde{φ}$ , where $φ \in L^{2} (0, T)$ and $\tilde{φ}$ is a suitable extension of $φ$ over the entire $ℝ$ . By leveraging this crucial result, we derive some properties of $ℋ_{T}$ , including a new inversion formula, that emerge as immediate consequences of well-established findings on $ℋ$ .

Reçu le : 2023-09-25
Accepté le : 2023-12-15
Publié le : 2024-09-17

DOI : 10.5802/crmath.600

Classification : 44A15

Affiliations des auteurs :

Matteo Ferrari ¹

¹ University of Vienna, Faculty of Mathematics, Oskar-Morgenstern-Platz 1, 1090, Vienna, Austria

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Matteo Ferrari. Some properties of a modified Hilbert transform. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 799-806. doi : 10.5802/crmath.600. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.600/

Bibliographie
Cité par

[1] P. L. Butzer; R. J. Nessel Fourier analysis and approximation. Vol. 1. One-dimensional theory, Academic Press Inc., 1971 | DOI | MR | Zbl

[2] D. Hilbert Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., Volume 3 (1904), pp. 213-259 | MR | Zbl

[3] E. Hille Analytic function theory. Vol. 1, Ginn and Company, 1959 | Zbl

[4] J. I. M. Hauser; M. Zank Numerical study of conforming space-time methods for Maxwell’s equations, Numer. Methods Partial Differ. Equations, Volume 40 (2024) no. 2, e23070 | DOI | MR | Zbl

[5] F. W. King Hilbert transforms. Vol. 1, Cambridge University Press, 2009 | DOI | Zbl

[6] J. N. Pandey The Hilbert transform of periodic distributions, Integral Transforms Spec. Funct., Volume 5 (1997), pp. 117-142 | DOI | MR | Zbl

[7] I. Perugia; C. Schwab; M. Zank Exponential convergence of $h p$ -time-stepping in space-time discretizations of parabolic PDEs, ESAIM, Math. Model. Numer. Anal., Volume 57 (2023), pp. 29-67 | DOI | MR | Zbl

[8] O. Steinbach; A. Missoni A note on a modified Hilbert transform, Appl. Anal., Volume 102 (2023), pp. 2583-2590 | DOI | MR | Zbl

[9] O. Steinbach; C. Urzúa-Torres; M. Zank Towards coercive boundary element methods for the wave equation, J. Integral Equations Appl., Volume 34 (2022), pp. 501-515 | DOI | MR | Zbl

[10] O. Steinbach; M. Zank Coercive space-time finite element methods for initial boundary value problems, Electron. Trans. Numer. Anal., Volume 52 (2020), pp. 154-194 | DOI | MR | Zbl

[11] O. Steinbach; M. Zank A note on the efficient evaluation of a modified Hilbert transformation, J. Numer. Math., Volume 29 (2021), pp. 47-61 | DOI | MR | Zbl

Richard Löscher; Olaf Steinbach; Marco Zank On a modified Hilbert transformation, the discrete inf-sup condition, and error estimates, Computers Mathematics with Applications, Volume 171 (2024), pp. 114-138 | DOI:10.1016/j.camwa.2024.07.008 | Zbl:7899276

Cité par 1 document. Sources : zbMATH

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