A Sharp Entropy Condition for the Density of Angular Derivatives

Alex Bergman

doi:10.5802/crmath.695

Article de recherche - Théorie des opérateurs

A Sharp Entropy Condition for the Density of Angular Derivatives
[Une condition d’entropie forte pour la densité des dérivées angulaires]

Alex Bergman ¹

¹ Matematikcentrum, Sölvegatan 18A, 22100 Lund, Sweden

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 29-33.

Résumé
Abstract

Soit $f$ une auto-application holomorphe du disque unitaire. Nous montrons que si $log (1 - | f (z) |)$ est intégrable sur un sous-arc du cercle unitaire, $I$ , alors l’ensemble des dérivées angulaires de Carathéodory de $f$ sur $I$ est une union dénombrable d’ensembles de Beurling–Carleson d’entropie finie. Inversement, étant donné une union dénombrable d’ensembles de Beurling–Carleson, $E$ , nous construisons une auto-application holomorphe du disque unitaire, telle que son ensemble de dérivées angulaires de Carathéodory est égal à $E$ et que $log (1 - | f (z) |)$ est intégrable sur le cercle unitaire. Nos principaux outils techniques sont le théorème de désintégration d’Aleksandrov et une caractérisation des unions dénombrables d’ensembles de Beurling–Carleson due à Makarov et Nikolski.

Let $f$ be a holomorphic self-map of the unit disc. We show that if $log (1 - | f (z) |)$ is integrable on a sub-arc of the unit circle, $I$ , then the set of points where the function $f$ has finite Carathéodory angular derivative on $I$ is a countable union of Beurling–Carleson sets of finite entropy. Conversely, given a countable union of Beurling–Carleson sets, $E$ , we construct a holomorphic self-map of the unit disc, $f$ , such that the set of points where the $f$ function has finite Carathéodory angular derivative is equal to $E$ and $log (1 - | f (z) |)$ is integrable on the unit circle. Our main technical tools are the Aleksandrov disintegration Theorem and a characterization of countable unions of Beurling–Carleson sets due to Makarov and Nikolski.

Reçu le : 2024-09-22
Révisé le : 2024-10-17
Accepté le : 2024-10-21
Publié le : 2025-03-06

DOI : 10.5802/crmath.695

Classification : 30J99, 30C35, 30H10, 46E22
Keywords: Angular derivative, holomorphic map, Beurling–Carleson sets
Mots-clés : Dérivée angulaire, carte holomorphe, ensembles de Beurling–Carleson

Affiliations des auteurs :

Alex Bergman ¹

¹ Matematikcentrum, Sölvegatan 18A, 22100 Lund, Sweden

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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