Comptes Rendus
Article de recherche - Équations aux dérivées partielles
Unstable optimal transport maps
[Instabilité d’applications de transport optimal]
Cyril Letrouit1 orcid
1Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405 Orsay, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 364 (2026), pp. 333-344

The stability of optimal transport maps with respect to perturbations of the marginals is a question of interest for several reasons, ranging from numerical analysis and statistics to the justification of the linearized optimal transport framework. Under various assumptions on the source measure, it is known that optimal transport maps are stable with respect to variations of the target measure.

In this note, we focus on the mechanisms that can, on the contrary, lead to instability. We identify two of them. We first show that instability may arise from the unboundedness of the density: we exhibit a source density on the unit ball of $\mathbb{R}^d$ which blows up at two points of the boundary and for which optimal transport maps are highly unstable. Then we prove that even for uniform densities on bounded open sets, optimal transport maps can be rather unstable sufficiently close to configurations where uniqueness of optimal plans is lost.

La stabilité des applications de transport optimal par rapport aux perturbations des marginales est une question importante à la fois en analyse numérique et en statistiques. Son étude est aussi directement liée à la possibilité de linéariser le transport optimal. Sous diverses hypothèses sur la mesure source, il est connu que les applications de transport optimal sont stables vis-à-vis des variations de la mesure cible.

Dans cette note, nous nous concentrons au contraire sur les mécanismes susceptibles de conduire à de l’instabilité. Nous en identifions deux. Nous montrons tout d’abord que l’instabilité peut provenir du caractère non borné de la densité : nous exhibons une densité source sur la boule unité de $\mathbb{R}^d$ qui diverge en deux points du bord et pour laquelle les applications de transport optimal sont fortement instables. Nous démontrons ensuite que, même pour des densités uniformes sur des ouverts bornés, les applications de transport optimal peuvent être assez instables à proximité de configurations où l’unicité des plans optimaux est perdue.

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DOI : 10.5802/crmath.834
Classification : 49Q22
Keywords: Optimal transport, stability, uniqueness, Wasserstein distance
Mots-clés : Transport optimal, stabilité, unicité, distance de Wasserstein

Cyril Letrouit  1

1 Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405 Orsay, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
Cyril Letrouit. Unstable optimal transport maps. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 364 (2026), pp. 333-344. doi: 10.5802/crmath.834
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[1] Alexandr Andoni; Assaf Naor; Ofer Neiman Snowflake universality of Wasserstein spaces, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 51 (2018) no. 3, pp. 657-700 | DOI | MR | Numdam

[2] Sivaraman Balakrishnan; Tudor Manole; Larry Wasserman Statistical inference for optimal transport maps: recent advances and perspectives (2025) | arXiv

[3] Robert J. Berman Convergence rates for discretized Monge–Ampère equations and quantitative stability of optimal transport, Found. Comput. Math., Volume 21 (2021) no. 4, pp. 1099-1140 | DOI | MR | Zbl

[4] Yann Brenier Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs, Comptes Rendus. Mathématique, Volume 305 (1987) no. 19, pp. 805-808 | Zbl | MR

[5] Yann Brenier Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions, Commun. Pure Appl. Math., Volume 44 (1991) no. 4, pp. 375-417 | DOI | MR | Zbl

[6] Sinho Chewi; Jonathan Niles-Weed; Philippe Rigollet Statistical optimal transport (2024) | arXiv

[7] Alex Delalande; Quentin Mérigot Quantitative stability of optimal transport maps under variations of the target measure, Duke Math. J., Volume 172 (2023) no. 17, pp. 3321-3357 | DOI | MR | Zbl

[8] Nicola Gigli On Hölder continuity-in-time of the optimal transport map towards measures along a curve, Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser., Volume 54 (2011) no. 2, pp. 401-409 | DOI | MR | Zbl

[9] Jun Kitagawa; Cyril Letrouit; Quentin Mérigot Stability of optimal transport maps on Riemannian manifolds (2025) | arXiv

[10] Cyril Letrouit; Quentin Mérigot Gluing methods for quantitative stability of optimal transport maps (2024) | arXiv | Zbl

[11] Quentin Mérigot; Alex Delalande; Frederic Chazal Quantitative stability of optimal transport maps and linearization of the 2-Wasserstein space, Proceedings of the Twenty Third International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (Silvia Chiappa; Roberto Calandra, eds.) (Proceedings of Machine Learning Research), Volume 108, PMLR, 2020, pp. 3186-3196

[12] Octave Mischler; Dario Trevisan Quantitative stability in optimal transport for general power costs (2024) | arXiv | Zbl

[13] Filippo Santambrogio Optimal transport for applied mathematicians, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 87, Birkhäuser/Springer, 2015 | Zbl | DOI | MR

[14] Wei Wang; Dejan Slepčev; Saurav Basu; John A. Ozolek; Gustavo K. Rohde A linear optimal transportation framework for quantifying and visualizing variations in sets of images, Int. J. Comput. Vis., Volume 101 (2013) no. 2, pp. 254-269 | Zbl | DOI | MR

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