Comptes Rendus
Article de synthèse - Systèmes dynamiques
The universal bound property
[La propriété de borne universelle]
Alain Haraux1
1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne University, Pierre and Marie Curie Campus, 4 Pl. Jussieu, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1499-1506

Cet article fait partie du numéro thématique De génération en génération : l'héritage mathématique de Haïm Brezis coordonné par Henri Berestycki et al..  

This survey paper is devoted to the question of universal bounds, independent of the initial state, for the trajectories of some nonlinear semi-groups and even more general processes. In the case of second order ODEs, rather surprisingly, it turns out that dissipation alone is not enough to produce such a property, and nonlinear elastic forces result in universal boundedness only when they dominate the damping in a very precise sense.

Cet article de synthèse est consacré à la question des bornes universelles, indépendantes de l’état initial, pour les trajectoires de certains semi-groupes non linéaires ou même de processus plus généraux. Dans le cas des équations différentielles ordinaires du second ordre, il s’avère, de manière assez surprenante, que la dissipation à elle seule ne suffit pas à garantir une telle propriété et que les forces élastiques non linéaires entraînent une bornitude universelle uniquement lorsqu’elles dominent l’amortissement d’une manière très précise.

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DOI : 10.5802/crmath.796
Classification : 34A40, 34D23, 34E10, 34G20, 35L71, 37L15
Keywords: Evolution equations, second order, damping term, restoring force, energy bounds
Mots-clés : Équations d’évolution, second ordre, terme d’amortissement, force de rappel, majorations d’énergie

Alain Haraux 1

1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne University, Pierre and Marie Curie Campus, 4 Pl. Jussieu, 75005 Paris, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Alain Haraux. The universal bound property. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1499-1506. doi: 10.5802/crmath.796

[1] Mama Abdelli; María Anguiano; Alain Haraux Existence, uniqueness and global behavior of the solutions to some nonlinear vector equations in a finite dimensional Hilbert space, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Volume 161 (2017), pp. 157-181 | DOI | MR | Zbl

[2] Mama Abdelli; Alain Haraux Global behavior of the solutions to a class of nonlinear, singular second order ODE, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Volume 96 (2014), pp. 18-37 | DOI | MR | Zbl

[3] Mama Abdelli; Alain Haraux The universal bound property for a class of second order ODEs, Port. Math., Volume 76 (2019) no. 1, pp. 49-56 | DOI | MR | Zbl

[4] Marina Ghisi; Massimo Gobbino; Alain Haraux Universal bounds for a class of second order evolution equations and applications, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 142 (2020), pp. 184-203 | DOI | MR | Zbl

[5] A. Haraux Remarks on the wave equation with a nonlinear term with respect to the velocity, Port. Math., Volume 49 (1992) no. 4, pp. 447-454 | MR | Zbl

[6] Alain Haraux Sharp decay estimates of the solutions to a class of nonlinear second order ODE’s, Anal. Appl., Singap., Volume 9 (2011) no. 1, pp. 49-69 | DOI | MR | Zbl

[7] Jacques Simon Quelques propriétés de solutions d’équations et d’inéquations d’évolution paraboliques non linéaires, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. (4), Volume 2 (1975) no. 4, pp. 585-609 | MR | Numdam | Zbl

[8] Philippe Souplet Existence of exceptional growing-up solutions for a class of non-linear second order ordinary differential equations, Asymptotic Anal., Volume 11 (1995) no. 2, pp. 185-207 | MR | Zbl | DOI

[9] Philippe Souplet Critical exponents, special large-time behavior and oscillatory blow-up in nonlinear ODE’s, Differ. Integral Equ., Volume 11 (1998) no. 1, pp. 147-167 | MR | Zbl

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