Comptes Rendus
no. 12
Random-field model for the elasticity tensor of anisotropic random media
[Modèle de champ aléatoire pour le tenseur d'élasticité des milieux aléatoires anisotropes.]

Présenté par : Henri Cabannes

Christian Soize1
1 Laboratoire de mécanique, université de Marne-la-Vallée, 5, boulevard Descartes, 77454 Marne-la-Vallée, France
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 332 (2004) no. 12, pp. 1007-1012.

On présente la construction d'un champ aléatoire à valeurs dans les matrices définies positives dont les propriétés mathématiques permettent de modéliser le tenseur d'élasticité du quatrième ordre des mileux élastiques anisotropes tridimensionnels aléatoires. Si l'approche probabiliste paramétrique usuelle était utilisée, alors il serait nécessaire de modéliser et d'identifier à l'aide de données expérimentales 21 champs aléatoires mutuellement dépendants. Une telle approche serait très difficile de part le fait que le système de lois marginales de ces champs aléatoires doit être identifié parce que, pour un problème aux limites, le champ de déplacement est une transformation non linéaire du tenseur d'élasticité. La théorie présentée dans ce papier permet de construire une modélisation probabiliste du champ de tenseur d'élasticité qui ne dépend que de quatre paramètres scalaires : trois échelles de corrélation spatiale et un paramètre permettant de contrôler le niveau des fluctuations aléatoires.

This Note deals with the construction of a non-Gaussian positive definite matrix-valued random field whose mathematical properties allow the fourth-order elasticity tensor of random non homogeneous anisotropic three dimensional elastic media to be modelled. If the usual parametric probabilistic approach was used, then 21 mutually dependent random fields should be modelled and identified by using experimental data. Such an approach would be very difficult because the systems of the marginal probability distributions of these random fields have to be identified due to the fact that, for a boundary value problem, the displacement field of the random medium is a non-linear mapping of the random elasticity tensor. The theory presented in this paper allows such a probabilistic model of the fourth-order elasticity tensor field to be constructed and depends only of four scalar parameters: three spatial correlation lengths and one parameter allowing the level of the random fluctuations to be controlled.

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DOI : 10.1016/j.crme.2004.09.008
Keywords: Computational solid mechanics, Stochastic anisotropic elasticity, Random medium, Non-Gaussian random field
Mot clés : Mécanique des solides numérique, Elasticité anisotrope stochastique, Milieu aléatoire, Champ aléatoire non gaussien
Christian Soize 1

1 Laboratoire de mécanique, université de Marne-la-Vallée, 5, boulevard Descartes, 77454 Marne-la-Vallée, France 
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Christian Soize. Random-field model for the elasticity tensor of anisotropic random media. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 332 (2004) no. 12, pp. 1007-1012. doi : 10.1016/j.crme.2004.09.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2004.09.008/

[1] P.G. Ciarlet Mathematical Elasticity, vol. 1: Three-Dimensional Elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988

[2] C. Soize Maximum entropy approach for modeling random uncertainties in transient elastodynamics, J. Acoust. Soc. Amer., Volume 109 (2001) no. 5, pp. 1979-1996

[3] J.L. Doob Stochastic Processes, John Wiley and Sons, New York, 1953 (Wiley Classics Library ed. published 1990)

[4] C. Soize Non-Gaussian positive-definite matrix-valued random fields for elliptic stochastic partial differential operators, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. (2004) (in press)

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