Comptes Rendus
no. 6
An acoustical interpretation of the zeroes of ultraspherical polynomials
[Une interprétation acoustique des zéros des polynômes ultrasphériques]
Georges Le Vey1
1 IRCCyN, UMR CNRS 6597, École des mines de Nantes, 4, rue Alfred-Kastler, 44307 Nantes cedex 1, France
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 344 (2016) no. 6, pp. 434-438.

En 1887, T.J. Stieltjes a donné une interprétation des zéros des polynômes de Jacobi, en termes d'équilibre d'un système de charges électriques. L'extension aux polynômes de Laguerre et de Hermite en fut donnée ensuite par G. Szegö. Nous donnons ici une interprétation analogue des zéros des polynômes ultrasphériques en termes des fréquences de résonance de résonateurs acoustiques cylindriques par morceaux.

In 1887, T.J. Stieltjes gave an electrostatical interpretation of the zeroes of Jacobi polynomials. This was extended later to Laguerre and Hermite polynomials by G. Szegö. An analogous interpretation is given here for ultraspherical polynomials in terms of piecewise cylindrical acoustical resonators.

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DOI : 10.1016/j.crme.2016.01.005
Keywords: Acoustics, Acoustical resonators, Ultraspherical polynomials, Orthogonal polynomials roots, Resonance frequencies, Plane wave propagation
Mot clés : Acoustique, Résonateurs acoustiques, Polynômes ultrasphériques, Racines des polynômes orthogonaux, Fréquences de résonance, Propagation par ondes planes
Georges Le Vey 1

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[1] J.-P. Dalmont; J. Kergomard Lattices of sound tubes with harmonically related eigenfrequencies, Acta Acust., Volume 2 (1994) no. 5, pp. 421-430

[2] G. Le Vey Graph modelling of musical wind instruments: a method for natural frequencies computation, Acta Acust. Acust., Volume 101 (2015) no. 6, pp. 1222-1233

[3] J.-P. Dalmont; G. Le Vey New lattices of sound tubes with harmonically related eigenfrequencies, ISMA'2014 (2014)

[4] T.J. Stieltjes Sur les racines de l'équation Xn=0, Acta Math., Volume 9 (1887) no. 1, pp. 385-400

[5] G. Szegö Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications, vol. XXIII, American Mathematical Society, Providence, RI, USA, 1939 (1975)

[6] R. Koekoek; P.A. Lesky; R.F. Swarttouw Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Their q-Analogues, Springer Monographs in Mathematics, Springer Verlag, 2010

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