Comptes Rendus
La notion de moyenne en turbulence. Quelques réflexions selon une perspective historique
[The notion of averaging in turbulence. Some considerations from a historical perspective]
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 347 (2019) no. 3, pp. 228-258.

The historical evolution of the averaging concept in turbulence is presented according to a two-fold analysis, taking into consideration the physical meaning and the mathematical formulation. After having placed in their historical context some symptomatic characteristics of turbulent flows, the question of their interpretation as a turbulence syndrome, leading to a unitary identification of the phenomenon, is discussed. We then deal with the emergence of the notion of mean as a tool of physical understanding of such a unitary approach, and its relation with the progression of the “experimental” evidence. We conclude by relating this notion to the theoretical aspects of a determinism on average of the turbulent regime, its finality and some attempts to develop a probabilistic theory of turbulence.

On retrace l'évolution historique du concept de moyenne en turbulence selon une double dimension d'analyse, prenant en considération sa signification physique et sa formulation mathématique. Après avoir replacé dans leur contexte d'époque quelques caractéristiques symptomatiques des écoulements turbulents, la question de leur interprétation au sens d'un syndrome de turbulence, conduisant à une identification unitaire du phénomène, est discutée. On s'intéresse alors à l'émergence de la notion de moyenne, comme outil de compréhension physique d'une telle approche unitaire, et de sa relation avec la progression des connaissances « expérimentales ». On termine en mettant en relation cette notion avec les aspects théoriques touchant au sens du déterminisme en moyenne du régime turbulent, de sa finalité et des tentatives d'élaboration d'une théorie probabiliste de la turbulence.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crme.2018.12.002
Mot clés : Aérodynamique, Agitation, Aléatoire, Déterminisme, Histoire des sciences, Hydrodynamique, Mécanique des fluides, Moyenne, Probabilité, Statistique, Turbulence
Keywords: Aerodynamics, Agitation, Average, Determinism, History of sciences, Hydrodynamics, Fluid mechanics, Mean value, Probability, Randomness, Statistic, Turbulence

Patrick Chassaing 1

1 Institut de mécanique des fluides de Toulouse, Toulouse, France
@article{CRMECA_2019__347_3_228_0,
     author = {Patrick Chassaing},
     title = {La notion de moyenne en turbulence. {Quelques} r\'eflexions selon une perspective historique},
     journal = {Comptes Rendus. M\'ecanique},
     pages = {228--258},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {3},
     year = {2019},
     doi = {10.1016/j.crme.2018.12.002},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Patrick Chassaing
TI  - La notion de moyenne en turbulence. Quelques réflexions selon une perspective historique
JO  - Comptes Rendus. Mécanique
PY  - 2019
SP  - 228
EP  - 258
VL  - 347
IS  - 3
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crme.2018.12.002
LA  - fr
ID  - CRMECA_2019__347_3_228_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Patrick Chassaing
%T La notion de moyenne en turbulence. Quelques réflexions selon une perspective historique
%J Comptes Rendus. Mécanique
%D 2019
%P 228-258
%V 347
%N 3
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crme.2018.12.002
%G fr
%F CRMECA_2019__347_3_228_0
Patrick Chassaing. La notion de moyenne en turbulence. Quelques réflexions selon une perspective historique. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 347 (2019) no. 3, pp. 228-258. doi : 10.1016/j.crme.2018.12.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2018.12.002/

[1] R.P. Feynman La nature de la physique, Éditions du Seuil, 1980

[2] M. Lesieur La turbulence, Presses universitaires de Grenoble, 1994

[3] A. Favre; H. et J. Guitton; A. Lichnerowicz; E. Wolff De la causalité à la finalité. À propos de la turbulence, Maloine, S.A., 1988

[4] L. da Vinci, Codex Leicester (ex. Hammer).

[5] J.P. Richter Scritti letterari di Leonardo da Vinci – Parte 1, Sampson Low, Marston, Searle & Rivington, London, 1883

[6] A. Barré de Saint-Venant Sur l'hydrodynamique des cours d'eau, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 74 (1872), pp. 570-577 (649–657, 693–701, 770–774)

[7] O. Reynolds An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels, Philos. Trans. R. Soc. Lond., Volume 174 (1883), pp. 935-982

[8] H. Bazin Note sur la mesure des vitesses à l'aide du tube jaugeur, Ann. Ponts Chaussées, Volume xiv, 6ème sér (1887) no. 46, pp. 195-229

[9] O. Reynolds On the Theory of Lubrication and its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil, Philos. Trans. R. Soc., Volume 177 (1886), pp. 157-234

[10] O. Reynolds On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion, Philos. Trans. R. Soc. Lond. A, Volume 186 (1895), pp. 123-164

[11] S.P. Langley The internal work of wind, Smithson. Contrib. Knowl., Volume 884 (1893), pp. 1-23

[12] H.L. Dryden; A.M. Kuethe The Measurement of Fluctuations of Air Speed by the Hot-Wire Anemometer, 1929 (Tech. report, NACA – Report No. 320)

[13] P.L.G. Dubuat Principes d'hydraulique et de pyrodynamique, vérifiés par un grand nombre d'expériences faites par ordre du gouvernement - tome deuxième, Firmin Didot, Paris, 1816

[14] A. Rateau Expériences et théories sur le tube de Pitot et le moulinet de Woltmann, Ann. Mines, Volume xiii (1898) no. 9, pp. 331-385

[15] H.A. Lorentz Über die Entstehung turbulenter Flüssigkeitsbewegungen and über den Einfluss dieser Bewegungen bei der Strömung durch Röhren, Abhan. Theoret. Phys., Volume 1 (1907), pp. 58-60 (Version révisée de l'article “Over den weerstand dien een vloeistofstroom in eene cilindrische buis ondervindt”, Amsterdam, Zittingsverslag Akad. v. Wet. 6, 1897, p. 28)

[16] G. Hagen Über den Einflufs der Temperatur auf die Bewegung des Wassers in Röhren, Abhand. König. Akad. Wiss. Berlin Math. Kl. (1854), pp. 17-98

[17] S. Corrsin Investigation of Flow in an Axially Symmetrical Heated Jet of Air, 1943 (Tech. report, NACA Wartime Report ACR No. 3L23)

[18] P.S. Klebanoff Characteristics of Turbulence in a Boundary Layer with Zero Pressure Gradient, 1954 (Technical Note 3178, NACA Rep. no. 1247, July 1954)

[19] S. Corrsin; L. Kistler Alan The Free-Stream Boundaries of Turbulent Flows, 1954 (Tech. report, NACA-TN-3133)

[20] G.K. Batchelor; A.A. Townsend The nature of turbulent motion at large wave-numbers, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 199 (1949) no. 1057, pp. 238-255

[21] A.Y.-S. Kuo; S. Corrsin Experiments on internal intermittency and fine-structure distribution functions in fully turbulent fluid, J. Fluid Mech., Volume 50 (1971) no. 2, pp. 285-319

[22] S.J. Kline; W.C. Reynolds; F.A. Schraub; P.W. Runstadler The structure of turbulent boundary layers, J. Fluid Mech., Volume 30 (1967) no. 4, pp. 741-773

[23] K. Narahari Rao; R. Narasimha; M.A. Badri Narayanan The bursting' phenomenon in a turbulent boundary layer, J. Fluid Mech., Volume 48 (1971) no. 2, pp. 339-352

[24] F. Zöllner; J. Nathan Léonard de Vinci – vol. ii Lœuvre graphique, Taschen, 1980

[25] H. Bénard Formation des centres de giration à l'arrière d'un obstacle en mouvement, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 147 (1908), pp. 839-842

[26] C. Camichel; P. Dupin; M. Teissié-Solier Sur l'application de la loi de similitude aux périodes de formation des tourbillons alternés de Bénard–Kármán, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 185 (1927), pp. 1556-1559

[27] A. Roshko Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number, J. Fluid Mech., Volume 10 (1961) no. 3, pp. 345-356

[28] G. Brown, A. Roshko, The effect of density differences on the turbulent mixing layer, Turbulent Shear Flows – AGARD-CP-93 (Londres), 13–15 septembre 1971, Londres, pp. 23–1, 23–12.

[29] A. Fage; H.C.H. Townend An examination of turbulent flow with an ultramicroscope, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 135 (1932) no. 828, pp. 656-677

[30] A.S. Sharma; B.J. McKeon On coherent structure in wall turbulence, J. Fluid Mech., Volume 728 (2013), pp. 196-238

[31] S. Corrsin Some Current Problems in Turbulent Shear Flows, Naval Hydrodynamics, 1957 (Tech. Report Naval Hydrodynamics Pub. 515)

[32] J.K. Ferrell; F. Richardson; K.O. Beatty Dye displacement technique for velocity distribution measurements, Ind. Eng. Chem., Volume 47 (1955) no. 1, pp. 29-33

[33] F.R. Hama; J.D. Long; J.C. Hegarty On transition from laminar to turbulent flow, J. Appl. Phys., Volume 28 (1957) no. 4, pp. 388-394

[34] T. Theodorsen Mechanism of turbulence, Proceedings of the Second Midwestern Conference on Fluid Mechanics, Ohio State University, 1952, pp. 1-18

[35] J. Kim On the Structure of Wall-Bounded Turbulent Flows, 1983 (Tech. report, NASA Technical Memorandum 84313)

[36] J. Kim; P. Moin The structure of the vorticity field in turbulent channel flow. Part 2. Study of ensemble-averaged fields, J. Fluid Mech., Volume 162 (1986), pp. 339-363

[37] S.J. Kline Investigation of the Turbulence Producing Structures in the Boundary Layer, 1991 (Tech. report, AFOSR 87-0304E)

[38] R.E. Falco Coherent motions in the outer region of turbulent boundary layers, Phys. Fluids, Volume 20 (1977) no. 10, p. S124-S132

[39] D. Bernoulli Hydrodynamica – de viribus et motibus fluidorum commentarii, 1738 (Opus Academicum)

[40] J.-B. Venturi Recherches expérimentales sur le principe de la communication latérale du mouvement dans les fluides appliqué à l'explication de différens phénomènes hydrauliques, J. Phys. Chim. Hist. Nat. & Arts, Volume 2 (1794), pp. 362-393

[41] J.V. Poncelet Introduction à la mécanique industrielle, physique ou expérimentale, Éditeur Rue de l'Esplanade, Metz – M, 1841

[42] J. Boussinesq Mémoire sur l'influence des frottements dans les mouvements réguliers de fluides, J. Math. Pures Appl., Volume III (1868) no. 2, pp. 377-424

[43] G.I. Taylor Flow in pipes and between parallel planes, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 159 (1937) no. 899, pp. 496-506

[44] A Voyage Through Turbulence (P.A. Davidson; Y. Kaneda; K. Moffatt; K.R. Sreenivasan, eds.), Cambridge University Press, 2011

[45] L.F. Richardson Wheather Prediction by Numerical Process, Cambridge University Press, 1922

[46] G.K. Batchelor The application of the similarity theory of turbulence to atmospheric diffusion, Q. J. R. Meteorol. Soc., Volume 76 (1950), pp. 133-146

[47] G.I. Taylor; A.E. Green Mechanism of the production of small eddies from large ones, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 158 (1937) no. 895, pp. 499-521

[48] G.I. Taylor Statistical theory of turbulence – i, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 151 (1935) no. 873, pp. 421-444

[49] A.N. Kolmogorov Structure locale de la turbulence dans un fluide incompressible visqueux aux très grands nombres de Reynolds, C. R. Acad. Sci. URSS, Volume 30 (1941) no. 4, pp. 299-303

[50] A.N. Kolmogorov Selected Works of A.N. Kolmogorov – Volume II Probability Theory and Mathematical Statistics, Spinger Science+Buiseness Media, B.V., 1992

[51] P.L.G. Dubuat Principes d'hydraulique et de pyrodynamique, vérifiés par un grand nombre d'expériences faites par ordre du gouvernement – tome premier, Firmin Didot, Paris, 1816

[52] L.F. Richardson The supply of energy from and to atmospheric eddies, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 97 (1920) no. 686, pp. 354-373

[53] L.F. Richardson Some measurements of atmospheric turbulence, Philos. Trans. R. Soc. Lond. A, Volume 221 (1921), pp. 1-28

[54] L.F. Richardson Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 110 (1926) no. 756, pp. 709-737

[55] A. Favre (Ed.), Mécanique de la turbulence, Colloques Internationaux du CNRS, Éditions du Centre national de la recherche scientifique, Marseille, 20 août – 2 septembre 1961.

[56] U. Frisch Turbulence the Legacy of a.n. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995

[57] J.L. Lumley; A.M. Yaglom A century of turbulence, Flow Turbul. Combust., Volume 66 (2001), pp. 241-286

[58] T. Von Kármán Progress in the statistical theory of turbulence, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 34 (1948) no. 11, pp. 530-539

[59] J. Boussinesq Essai sur la théorie des eaux courantes, Mém. Acad. Sci. Inst. Fr., Volume 23 (1877) no. 1, pp. 1-680 (Mémoires présentés par divers savants à)

[60] A. Favre Équations statistiques des gaz turbulents : masse, quantité de mouvement, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 246 (1958), pp. 2576-2579

[61] H. Lamb Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1916

[62] L. Keller; A. Friedmann Differentialgleichungen für die turbulente Bewegung einer kompressibelen Flüssigkeit, Proceedings International Congress Delft, 1925, pp. 395-405

[63] J. Kampé de Fériet Problèmes mathématiques de la théorie de la turbulence homogène, Varenna, Italie (C. Ferrari, ed.), Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) (1957), pp. 1-104

[64] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion i, Mededeeling No. 12 – KNAW Proceedings, Volume 32 (1929) no. 4, pp. 414-425

[65] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion ii, Mededeeling No. 12 – KNAW Proceedings, Volume 32 (1929) no. 5, pp. 643-657

[66] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion iii, Mededeeling No. 12 – KNAW Proceedings, Volume 32 (1929) no. 6, pp. 818-833

[67] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion iv, Mededeeling No. 26 – KNAW Proceedings, Volume 36 (1933) no. 3, pp. 276-284

[68] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion v, Mededeeling No. 26 – KNAW Proceedings, Volume 36 (1933) no. 4, pp. 390-399

[69] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion vi, Mededeeling No. 26 – KNAW Proceedings, Volume 36 (1933) no. 5, pp. 487-496

[70] J.M. Burgers On the application of statistical mechanics to the theory of turbulent fluid motion vii, Mededeeling No. 26 – KNAW Proceedings, Volume 36 (1933) no. 6, pp. 620-628

[71] G.I. Taylor Statistical theory of turbulence – ii, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 151 (1935) no. 873, pp. 444-454

[72] G.I. Taylor Statistical theory of turbulence – iii. Distribution of dissipation of energy in a pipe over its cross-section, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 151 (1935) no. 873, pp. 455-464

[73] G.I. Taylor Statistical theory of turbulence – iv. Diffusion in a turbulent air stream, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, Volume 151 (1935) no. 873, pp. 465-478

[74] G.I. Taylor Diffusion by continuous movements, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 2 (1921), pp. 196-211

[75] T. Von Kármán The fundamentals of the statistical theory of turbulence, J. Aeronaut. Sci., Volume 4 (1937) no. 4, pp. 131-138

[76] G. Dedebant; Ph. Schereschewsky; P. Wehrlé Sur la similitude statistique dans les mouvements turbulents des fluides, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 198 (1934), pp. 1571-1573

[77] G. Dedebant; Ph. Wehrlé La mécanique de l'atmosphère et des grands milieux fluides fondée sur les concepts d'échelle et de probabilité, Thalès, Volume 2 (1935), pp. 53-81

[78] R. Juvanon Du Vachat La mécanique des fluides turbulents avec dedebant et wehrlé à l'office national météorologique (1934–1939), Meteorol., Volume 8 (1995) no. numéro spécial, pp. 156-166

[79] G. Dedebant; Ph. Wehrlé La mécanique des fluides turbulents fondée sur des concepts statistiques, Thalès, Volume 4 (1938), pp. 151-167

[80] A. Demuro Joseph Kampé de Fériet et la mécanique des fluides en France durant l'entre-deux-guerres, C. R. Mecanique, Volume 345 (2017), pp. 556-569

[81] J. Kampé de Fériet Averaging processes and Reynolds equations in atmospheric turbulence, J. Meteorol., Volume 8 (1951), pp. 358-361

[82] J. Kampé de Fériet L'état actuel du problème de la turbulence, Sci. Aérienne, Volume 3 (1934), pp. 9-34

[83] J. Kampé de Fériet L'état actuel du problème de la turbulence (suite), Sci. Aérienne, Volume 4 (1935), pp. 12-52

[84] J. Kampé de Fériet Les fonctions aléatoires stationnaires et la théorie statistique de la turbulence homogène, Ann. Soc. Sci. Brux., Volume 59 (1939), p. 145

[85] J. Kampé de Fériet Sur le spectre de la turbulence homogène, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 208 (1939), pp. 722-725

[86] J. Kampé de Fériet Introduction to the statistical theory of turbulence – i, J. Soc. Ind. Appl. Math., Volume 2 (1954) no. 1, pp. 1-9

[87] J. Kampé de Fériet Introduction to the statistical theory of turbulence – ii, J. Soc. Ind. Appl. Math., Volume 2 (1954) no. 3, pp. 143-174

[88] J. Kampé de Fériet Introduction to the statistical theory of turbulence - iii, J. Soc. Ind. Appl. Math., Volume 2 (1954) no. 4, pp. 244-271

[89] J. Kampé de Fériet Introduction to the statistical theory of turbulence – iv, J. Soc. Ind. Appl. Math., Volume 3 (1955) no. 2, pp. 90-117

[90] J. Kampé de Fériet Fonctions aléatoires et théorie statistique de la turbulence, Théorie des fonctions aléatoires, Masson & C, 1953, pp. 569-623

[91] J. Kampé de Fériet La notion de moyenne dans la théorie de la turbulence, Milan J. Math., Volume 27 (1957) no. 1, pp. 167-207

[92] P. Chassaing, Turbulence en mécanique ees fluides - Analyse du phénomène en vue de sa modélisation à l'usage de l'ingénieur, Éditions Cépadués (collection Polytech), 2000.

[93] J. Bass Applications de la mécanique aléatoire à l'hydrodynamique et à la mécanique quantique, Publications scientifiques et techniques du Ministère de l'air, 1949 (rapport technique no 227)

[94] J. Bass Stationary functions and their applications to the theory of turbulence I. Stationary functions, J. Math. Anal. Appl., Volume 47 (1973) no. 2, pp. 354-399

[95] J. Bass Stationary functions and their applications to the theory of turbulence II. Turbulent solutions of the Navier–Stokes equations, J. Math. Anal. Appl., Volume 47 (1974) no. 3, pp. 458-503

[96] J. Bass Principes d'une théorie non probabiliste de la turbulence, Mécanique de la turbulence (Marseille), Colloques internationaux du CNRS, vol. 108, 1962, pp. 459-465

[97] J. Bass Suites uniformément denses, moyennes trigonométriques, fonctions pseudo-aléatoires, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 87 (1959), pp. 1-64

[98] A.A. Townsend The fully developed turbulent wake of a circular cylinder, Aust. J. Sci. Res., Ser. A, Volume 2 (1949) no. 4, pp. 451-468

[99] A.K.M.F. Hussain; W.C. Reynolds The mechanics of an organized wave in turbulent shear flow, J. Fluid Mech., Volume 41 (1970) no. 2, pp. 241-258

[100] Turbulence et déterminisme (M. Lesieur, ed.), PUG, 1998

[101] A. Fouillée Extraits des grands philosophes, Ch. Delagrave, Paris, 1877

[102] C. Bernard Introduction à l'étude de la médecine expérimentale, J.B. Baillière et fils, Paris, 1865

[103] G.W. Leibniz Essais de théodicée sur la bonté de dieu, la liberté de l'homme et l'origine du mal – tome premier, chez François Changuion, A Amsterdam, 1734

[104] H. Lamb Hydrodynamics, C.J. Clay and Sons, Cambridge University Press, 1895

[105] A. Lhote Biographie chalonnaise, T. Martin Châlons-sur-Marne, 1870

[106] J.L. Lumley Toward a turbulent constitutive relation, J. Fluid Mech., Volume 41 (1970) no. 2, pp. 413-434

[107] A. Favre Équations statistiques des gaz turbulents : énergie totale, énergie interne, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 246 (1958), pp. 2723-2725

[108] A. Favre Équations statistiques des gaz turbulents : énergie cinétique, énergie cinétique du mouvement microscopique, énergie cinétique de la turbulence, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 246 (1958), pp. 2839-2842

[109] A. Favre Équations statistiques des gaz turbulents : enthalpies, entropie, températures, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 246 (1958), pp. 3216-3219

[110] H. Ha Minh; B.E. Launder; J. MacInnes The turbulence modelling of variable density flows – a mixed-weighted decomposition, Turbulent Shear Flows 3, Selected papers from the Third International Symposium on Turbulent Shear Flows, 1981, September 9–11, The University of California, Davis, CA, États-Unis, 1982, pp. 291-308

[111] P. Chassaing Une alternative à la formulation des équations du mouvement turbulent d'un fluide à masse volumique variable, J. Méc. Théor. Appl., Volume 4 (1985) no. 3, pp. 375-389

[112] T. Von Kármán; L. Howarth On the statistical theory of isotropic turbulence, Philos. Trans. R. Soc. Lond., Ser. A, Volume 164 (1938) no. 917, pp. 192-215

[113] P.Y. Chou On an extension of Reynolds' method of finding apparent stress and the nature of turbulence, Chin. J. Phys., Volume 4 (1940), pp. 1-33

[114] M. Millionschikov On the theory of homogeneous isotropic turbulence, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 32 (1941) no. 9, pp. 611-614

[115] A.S. Monin; A.M. Yaglom Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence, vol. 2, The MIT Press, 1975 (English edition updated, augmented and revised)

[116] P.-Y. Chou; R.-L. Chou 50 years of turbulence research in China, Annu. Rev. Fluid Mech., Volume 27 (1995), pp. 1-16

[117] Y. Ogura A consequence of the zero-fourth-cumulant approximation in the decay of isotropic turbulence, J. Fluid Mech., Volume 16 (1963) no. 1, pp. 33-40

[118] A.P. Mirabel Application of Millionschikov's hypothesis to the problem of isotropic turbulence degeneration, Izv. Akad. Nauk SSSR, Meh. Židk. Gaza, Volume 4 (1969) no. 5, pp. 171-175

[119] C. Mamaloukas; H.P. Mazumdar An overview of Millionschikov's quasi-normality hypothesis applied to turbulence, Int. J. Appl. Mech. Eng., Volume 19 (2014) no. 1, pp. 123-132

[120] P.Y. Chou On velocity correlations and the solution of the equations of turbulent fluctuation, Q. Appl. Math., Volume III (1945) no. 1, pp. 38-54

[121] R.H. Kraichnan The Closure Problem of Turbulence Theory, New York University, 1961 (Tech. report, Research Report No. HSN-3)

[122] J.R. Chasnov Simulation of the Kolmogorov inertial subrange using an improved subgrid model, Phys. Fluids A, Volume 3 (1991) no. 1, pp. 188-200

[123] E. Hopf Statistical hydromechanics and functional calculus, Indiana Univ. Math. J., Volume 1 (1952) no. 1, pp. 87-123

[124] M.M. Stanisic The Mathematical Theory of Turbulence, Springer-Verlag, 1988

Cited by Sources:

Comments - Policy