Comptes Rendus
Bose–Einstein condensates: recent advances in collective effects/Avancées récentes sur les effets collectifs dans les condensats de Bose–Einstein
Kinetic theory and Bose–Einstein condensation
Comptes Rendus. Physique, Volume 5 (2004) no. 1, pp. 91-106.

In this article we discuss the role played by kinetic theory in describing the non-equilibrium dynamics of dilute systems of weakly interacting bosons. We illustrate how a simple kinetic equation for the time evolution of the spectral particle density can be derived from the spatially homogeneous Gross–Pitaevskii equation. This kinetic equation agrees with the usual Boltzmann–Nordheim equation of quantum kinetic theory in the long wavelength limit where the occupation numbers are expected to be large. The stationary solutions of the Gross–Pitaevskii kinetic equation are described. These include both thermodynamic equilibrium spectra and finite flux Kolmogorov–Zakharov spectra. These latter spectra are intrinsically nonequilibrium states and are expected to be relevant in the transfer of particles to low momenta in the initial stage of the condensation process. This is illustrated by some computations of a solution of the kinetic equation beginning with initial conditions far from equilibrium. The solution generates a flux of particles from large to small momenta which results in a singularity at zero momentum within finite time. We interpret this singularity as incipient condensate formation. We then present some numerical results on the post-singularity dynamics and the approach to equilibrium. Contrary to our original expectations we do not observe the Kolmogorov–Zakharov spectrum during the period of condensate growth. In the closing sections we address the issue of the connection between the Gross–Pitaevskii and Boltzmann–Nordheim kinetic equations. We argue that the two equations have differing regimes of applicability in momentum space, matching in an intermediate range. We make some suggestions of how this matching can be modeled in practice.

Dans cet article nous discutons le rôle joué par la théorie cinetique dans la dynamique hors équilibre d'un gaz de Bose dilué avec des interactions faibles. Nous montrons comment arriver à une équation cinétique assez simple pour l'évolution temporelle de la densité spectrale des particules en commençant avec l'équation de Gross–Pitaevskii pour le cas spatialement homogène. Cette équation cinétique est en accord avec l'équation de Boltzmann–Nordheim de la théorie cinétique quantique dans la limite où les longueurs d'onde sont grandes et on prévoit que les nombres de particules soient grands aussi. Les spectres stationaires de l'équation cinétique de Gross–Pitaevskii sont décrits. Ils comprennent des spectres d'équilibre thermodynamique et des spectres qui supportent des flux finis dit spectres de Kolmogorov–Zakharov. Ces derniers spectres sont essentiellement des objets hors-équilibre et on suppose qu'ils sont importants dans l'apport des particules au moments faibles dans les premières étapes du processus de condensation. Ce point est illustré avec des calculs numériques de l'équation cinétique qui commencent avec des données qui sont loins de l'équilibre. La solution crée un flux de particules des moments élevés aux petits pour qu'une singularité se déclenche en temps fini au moment nul. Nous interprétons cette singularité comme le commencement du condensat. Ensuite quelques calculs numériques de la dynamique après le temps de singularité et l'approche à l'équilibre sont presentés. Contre nos intuitions le spectre de Kolmogorov–Zakharov n'est pas observé pendant la croissance du condensat. Enfin nous discutons les liens entre la théorie cinétique de Gross–Pitaevskii et celle de Boltzmann–Nordheim. Nous proposons que les deux équations ont des domaines d'applicabilité différents dans l'espace des moments et qu'il faut faire un raccordement dans un domaine intermédiaire. Nous présentons nos idées pour construire un modèle pratique qui pourrait faire cela.

Published online:
DOI: 10.1016/j.crhy.2004.01.006
Keywords: Kinetic theory, Bose–Einstein condensation
Mot clés : Théorie cinétique, Condensats de Bose–Einstein

Colm Connaughton 1; Yves Pomeau 1

1 Laboratoire de physique statistique de l'École normale supérieur, associé au CNRS, 24, rue Lhomond, 75231 Paris cedex 05, France
@article{CRPHYS_2004__5_1_91_0,
     author = {Colm Connaughton and Yves Pomeau},
     title = {Kinetic theory and {Bose{\textendash}Einstein} condensation},
     journal = {Comptes Rendus. Physique},
     pages = {91--106},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {5},
     number = {1},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crhy.2004.01.006},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Colm Connaughton
AU  - Yves Pomeau
TI  - Kinetic theory and Bose–Einstein condensation
JO  - Comptes Rendus. Physique
PY  - 2004
SP  - 91
EP  - 106
VL  - 5
IS  - 1
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crhy.2004.01.006
LA  - en
ID  - CRPHYS_2004__5_1_91_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Colm Connaughton
%A Yves Pomeau
%T Kinetic theory and Bose–Einstein condensation
%J Comptes Rendus. Physique
%D 2004
%P 91-106
%V 5
%N 1
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crhy.2004.01.006
%G en
%F CRPHYS_2004__5_1_91_0
Colm Connaughton; Yves Pomeau. Kinetic theory and Bose–Einstein condensation. Comptes Rendus. Physique, Volume 5 (2004) no. 1, pp. 91-106. doi : 10.1016/j.crhy.2004.01.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.1016/j.crhy.2004.01.006/

[1] S.N. Bose Z. Phys., 26 (1924), p. 178

[2] A. Einstein Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. (1924), p. 261

[3] M.H. Anderson; J.R. Ensher; M.R. Matthews; C.E. Wieman; E.A. Cornell Science, 269 (1995), p. 198

[4] K.B. Davis; M.-O. Mewes; M.R. Andrews; N.J. van Druten; D.S. Durfee; D.M. Kurn; W. Ketterle Phys. Rev. Lett., 75 (1995), p. 3969

[5] C.J. Pethick; H. Smith Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press, Cambridge, 2002

[6] L.W. Nordheim Proc. R. Soc. London Ser. A, 119 (1928), p. 689

[7] E.P. Gross Nuovo Cimento, 20 (1961), p. 454

[8] L.P. Pitaevskii Sov. Phys. JETP, 13 (1961), p. 451

[9] F. Dalfovo; S. Giorgini; L.P. Pitaevskii; S. Stringari Theory of Bose–Einstein condensation in trapped gases, Rev. Modern Phys., Volume 71 (1999), p. 463

[10] S. Dyachenko; A.C. Newell; A. Pushkarev; V.E. Zakharov Optical turbulence: weak turbulence, condensates and collapsing filaments in the nonlinear Schrödinger equation, Physica D, Volume 57 (1992), pp. 96-160

[11] D.J. Benney; A.C. Newell Random wave closures, Stud. Appl. Math., Volume 48 (1968) no. 1, pp. 29-53

[12] A.C. Newell; S. Nazarenko; L. Biven Wave turbulence and intermittency, Physica D, Volume 152–153 (2001), pp. 520-550

[13] T. Carleman Acta Math., 60 (1933), p. 91

[14] V.E. Zakharov; V.S. Lvov; G.E. Falkovich Kolmogorov Spectra of Turbulence, Springer-Verlag, Berlin, 1992

[15] V.E. Zakharov Sov. Phys. JETP, 24 (1967), p. 455

[16] V.E. Zakharov Sov. Phys. JETP, 35 (1972), p. 908

[17] R. Lacaze; P. Lallemand; Y. Pomeau; S. Rica Dynamical formation of a Bose–Einstein condensate, Physica D, Volume 152–153 (2001), pp. 779-786

[18] G.E. Falkovich; A.V. Shafarenko Non-stationary wave turbulence, J. Nonlinear Sci., Volume 1 (1991), pp. 452-480

[19] C. Connaughton; A.C. Newell; Y. Pomeau Non-stationary spectra of local wave turbulence, Physica D, Volume 184 (2003) no. 1–4, pp. 64-85

[20] C. Connaughton; S.V. Nazarenko (Preprint, 2003) | arXiv

[21] Y. Pomeau Long term – long range dynamics of a classical field, Phys. Scripta, Volume T-67 (1996), p. 141

[22] C. Josserand, Communication in this volume and the references therein

Cited by Sources:

Comments - Policy