Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle

Yvan Castin; Hadrien Kurkjian

doi:10.5802/crphys.1

Research Article

Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle
[Collective excitation branch in the continuum of pair-condensed Fermi gases: analytical study et scaling laws]

Yvan Castin ¹ ; Hadrien Kurkjian ²

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France
² TQC, Universiteit Antwerpen, Universiteitsplein 1, B-2610 Anvers, Belgique

Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 3, pp. 253-310.

Abstract
Résumé

The pair-condensed unpolarized spin- $1 / 2$ Fermi gases have a collective excitation branch in their pair-breaking continuum (V.A. Andrianov, V.N. Popov, 1976). We study it at zero temperature, with the eigenenergy equation deduced from the linearized time-dependent BCS theory and extended analytically to the lower half complex plane through its branch cut, calculating both the dispersion relation and the spectral weights (quasiparticle residues) of the branch. In the case of BCS superconductors, so called because the effect of the ion lattice is replaced by a short-range electron-electron interaction, we also include the Coulomb interaction and we restrict ourselves to the weak coupling limit $Δ / μ \to 0^{+}$ ( $Δ$ is the order parameter, $μ$ the chemical potential) and to wavenumbers $q = O (1 / ξ)$ where $ξ$ is the size of a pair; when the complex energy $z_{q}$ is expressed in units of $Δ$ and $q$ in units of $1 / ξ$ , the branch follows a universal law insensitive to the Coulomb interaction. In the case of cold atoms in the BEC-BCS crossover, only a contact interaction remains, but the coupling strength $Δ / μ$ can take arbitrary values, and we study the branch at any wave number. At weak coupling, we predict three scales, that already mentioned $q \approx 1 / ξ$ , that $q \approx {(Δ / μ)}^{- 1 / 3} / ξ$ where the real part of the dispersion relation has a minimum and that $q \approx (μ / Δ) / ξ \approx k_{F}$ ( $k_{F}$ is the Fermi wave number) where the branch reaches the edge of its existence domain. Near the point where the chemical potential vanishes on the BCS side, $μ / Δ \to 0^{+}$ , where $ξ \approx k_{F}$ , we find two scales $q \approx {(μ / Δ)}^{1 / 2} / ξ$ and $q \approx 1 / ξ$ . In all cases, the branch has a limit $2 Δ$ and a quadratic start at $q = 0$ . These results were obtained for $μ > 0$ , where the eigenenergy equation admits at least two branching points $ϵ_{a} (q)$ and $ϵ_{b} (q)$ on the positive real axis, and for an analytic continuation through the interval $[ϵ_{a} (q), ϵ_{b} (q)]$ . We find new continuum branches by performing the analytic continuation through $[ϵ_{b} (q), + \infty [$ or even, for $q$ low enough, where there is a third real positive branching point $ϵ_{c} (q)$ , through $[ϵ_{b} (q), ϵ_{c} (q)]$ and $[ϵ_{c} (q), + \infty [$ . On the BEC side $μ < 0$ not previously studied, where there is only one real positive branching point $ϵ_{a} (q)$ , we also find new collective excitation branches under the branch cut $[ϵ_{a} (q), + \infty [$ . For $μ > 0$ , some of these new branches have a low-wavenumber exotic hypoacoustic $z_{q} \approx q^{3 / 2}$ or hyperacoustic $z_{q} \approx q^{4 / 5}$ behavior. For $μ < 0$ , we find a hyperacoustic branch and a nonhypoacoustic branch, with a limit $2 Δ$ and a purely real quadratic start at $q = 0$ for $Δ / | μ | < 0.222$ .

Les gaz de fermions de spin $1 / 2$ non polarisés condensés par paires présentent une branche d’excitation collective dans leur continuum de paire brisée (V.A. Andrianov, V.N. Popov, 1976). Nous en effectuons une étude poussée à température nulle, à partir de l’équation aux énergies propres déduite de la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, puis prolongée analytiquement au demi-plan complexe inférieur à travers sa ligne de coupure, en calculant à la fois la relation de dispersion et les poids spectraux (résidus de quasi-particule) de la branche. Dans le cas des supraconducteurs dits BCS où l’effet du réseau cristallin est remplacé par une interaction attractive à courte portée, mais où l’interaction de Coulomb doit pouvoir être prise en compte, nous nous restreignons à la limite de couplage faible $Δ / μ \to 0^{+}$ ( $Δ$ est le paramètre d’ordre, $μ$ le potentiel chimique) et aux nombres d’onde $q = O (1 / ξ)$ où $ξ$ est la taille d’une paire ; quand l’énergie complexe $z_{q}$ est exprimée en unités de $Δ$ et $q$ en unités de $1 / ξ$ , la branche suit une loi universelle que nous déterminons, insensible à l’interaction de Coulomb. Dans le cas des atomes froids dans le raccordement CBE-BCS, il ne reste qu’une interaction de contact mais le couplage $Δ / μ$ peut prendre des valeurs arbitraires, et nous étudions la branche à tout nombre d’onde. En couplage faible, nous prédisons trois échelles, celle déjà mentionnée $q \approx 1 / ξ$ , celle $q \approx {(Δ / μ)}^{- 1 / 3} / ξ$ où la partie réelle de la relation de dispersion admet un minimum et celle $q \approx (μ / Δ) / ξ \approx k_{F}$ ( $k_{F}$ est le nombre d’onde de Fermi) où la branche atteint le bord de son domaine d’existence. Près du point d’annulation du potentiel chimique du côté BCS, $μ / Δ \to 0^{+}$ , où $ξ \approx k_{F}$ , nous trouvons les deux échelles $q \approx {(μ / Δ)}^{1 / 2} / ξ$ et $q \approx 1 / ξ$ . Dans tous les cas, la branche est de limite $2 Δ$ et de départ quadratique en $q = 0$ . Ces résultats ont été obtenus pour $μ > 0$ , où l’équation aux énergies propres admet au moins deux points de branchement $ϵ_{a} (q)$ et $ϵ_{b} (q)$ sur l’axe réel positif, avec un prolongement analytique par l’intervalle $[ϵ_{a} (q), ϵ_{b} (q)]$ . Nous trouvons de nouvelles branches du continuum en prolongeant analytiquement à travers $[ϵ_{b} (q), + \infty [$ ou même, pour $q$ assez faible, où existe un troisième point de branchement réel positif $ϵ_{c} (q)$ , à travers $[ϵ_{b} (q), ϵ_{c} (q)]$ et $[ϵ_{c} (q), + \infty [$ . Du côté CBE $μ < 0$ non étudié auparavant, où existe un seul point de branchement réel positif $ϵ_{a} (q)$ , nous trouvons également de nouvelles branches sous la ligne de coupure $[ϵ_{a} (q), + \infty [$ . Pour $μ > 0,$ certaines de ces nouvelles branches présentent à faible nombre d’onde un comportement exotique hypoacoustique $z_{q} \approx q^{3 / 2}$ ou hyperacoustique $z_{q} \approx q^{4 / 5}$ . Pour $μ < 0$ , nous trouvons une branche hyperacoustique et une branche non hypoacoustique, de limite $2 Δ$ et de départ quadratique purement réel en $q = 0$ pour $Δ / | μ | < 0, 222$ .

Received: 2019-07-26
Revised: 2019-10-25
Accepted: 2019-11-05
Online First: 2020-06-30
Published online: 2020-11-19

DOI: 10.5802/crphys.1

Mots-clés : Gaz de fermions, Condensat de paires, Modes collectifs, Brisure de paire, Supraconducteur, Atomes froids, Théorie BCS
Keywords: Fermi gases, Pair condensate, Collective modes, Pair breaking, Superconductor, Ultracold atoms, BCS theory

Author's affiliations:

Yvan Castin ¹; Hadrien Kurkjian ²

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France
² TQC, Universiteit Antwerpen, Universiteitsplein 1, B-2610 Anvers, Belgique

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

@article{CRPHYS_2020__21_3_253_0,
     author = {Yvan Castin and Hadrien Kurkjian},
     title = {Branche d{\textquoteright}excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condens\'es par paires~: \'etude analytique et lois d{\textquoteright}\'echelle},
     journal = {Comptes Rendus. Physique},
     pages = {253--310},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {21},
     number = {3},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/crphys.1},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Yvan Castin
AU  - Hadrien Kurkjian
TI  - Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle
JO  - Comptes Rendus. Physique
PY  - 2020
SP  - 253
EP  - 310
VL  - 21
IS  - 3
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crphys.1
LA  - fr
ID  - CRPHYS_2020__21_3_253_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Yvan Castin
%A Hadrien Kurkjian
%T Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle
%J Comptes Rendus. Physique
%D 2020
%P 253-310
%V 21
%N 3
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crphys.1
%G fr
%F CRPHYS_2020__21_3_253_0

Yvan Castin; Hadrien Kurkjian. Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle. Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 3, pp. 253-310. doi : 10.5802/crphys.1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.5802/crphys.1/

References
Cited by

[1] R. Combescot; M. Yu. Kagan; S. Stringari Collective mode of homogeneous superfluid Fermi gases in the BEC-BCS crossover, Phys. Rev. A, Volume 74 (2006), 042717 | DOI

[2] V. A. Andrianov; V. N. Popov Gidrodinamičeskoe dejstvie i Boze-spektr sverhtekučih Fermi-sistem, Teor. Mat. Fiz., Volume 28 (1976), p. 341 [Theor. Math. Phys. 28, 829 (1976)]

[3] H. Kurkjian; S. N. Klimin; J. Tempere; Y. Castin Pair-breaking collective branch in BCS superconductors and superfluid Fermi gases, Phys. Rev. Lett., Volume 122 (2019), 093403 | DOI

[4] K. M. O’Hara; S. L. Hemmer; M. E. Gehm; S. R. Granade; J. E. Thomas Observation of a strongly interacting degenerate Fermi gas of atoms, Science, Volume 298 (2002), p. 2179 | DOI

[5] T. Bourdel; J. Cubizolles; L. Khaykovich; K. M. Magalhães; S. J. J. M. F. Kokkelmans; G. V. Shlyapnikov; C. Salomon Measurement of the interaction energy near a Feshbach resonance in a $^{6}$ Li Fermi gas, Phys. Rev. Lett., Volume 91 (2003), 020402 | DOI

[6] M. Bartenstein; A. Altmeyer; S. Riedl; S. Jochim; C. Chin; J. H. Denschlag; R. Grimm Collective excitations of a degenerate gas at the BEC-BCS crossover, Phys. Rev. Lett., Volume 92 (2004), 203201 | DOI

[7] M. W. Zwierlein; C. A. Stan; C. H. Schunck; S. M. F. Raupach; A. J. Kerman; W. Ketterle Condensation of pairs of fermionic atoms near a Feshbach resonance, Phys. Rev. Lett., Volume 92 (2004), 120403 | DOI

[8] S. Nascimbène; N. Navon; K. J. Jiang; F. Chevy; C. Salomon Exploring the thermodynamics of a universal Fermi gas, Nature, Volume 463 (2010), p. 1057 | DOI

[9] M. J. H. Ku; A. T. Sommer; L. W. Cheuk; M. W. Zwierlein Revealing the superfluid lambda transition in the universal thermodynamics of a unitary Fermi gas, Science, Volume 335 (2012), p. 563

[10] P. W. Anderson Random-phase approximation in the theory of superconductivity, Phys. Rev., Volume 112 (1958), p. 1900 | DOI | MR

[11] H. Kurkjian (“Cohérence, brouillage et dynamique de phase dans un condensat de paires de fermions”, thèse de doctorat, École Normale Supérieure, Paris, 2016)

[12] H. Kurkjian; Y. Castin; A. Sinatra Three-phonon and four-phonon interaction processes in a pair-condensed Fermi gas, Annalen der Physik, Volume 529 (2017), 1600352 | DOI

[13] Y. Castin Simple theoretical tools for low dimension Bose gases, Cours de l’école de printemps des Houches 2003 Quantum Gases in Low Dimensions, édité par M. Olshanii, H. Perrin, L. Pricoupenko, J. Phys. IV France, Volume 116 (2004), p. 89

[14] V. Gurarie Nonequilibrium dynamics of weakly and strongly paired superconductors, Phys. Rev. Lett., Volume 103 (2009), 075301 | DOI

[15] C. Cohen-Tannoudji; J. Dupont-Roc; G. Grynberg Processus d’interaction entre photons et atomes, InterEditions et Éditions du CNRS, Paris, 1988

[16] P. Nozières Le problème à N corps : Propriétés générales des gaz de fermions, Dunod, Paris, 1963 | MR | Zbl

[17] Y. Castin Basic tools for degenerate Fermi gases, Proceedings of the International School of Physics « Enrico Fermi » (Lecture notes of the 2006 Varenna Enrico Fermi School on Fermi gases) (2007)

[18] A. Schirotzek; Y. Shin; C. H. Schunck; W. Ketterle Determination of the superfluid gap in atomic Fermi gases by quasiparticle spectroscopy, Phys. Rev. Lett., Volume 101 (2008), 140403 | DOI

[19] M. Marini; F. Pistolesi; G. C. Strinati Evolution from BCS superconductivity to Bose condensation : Analytic results for the crossover in three dimensions, Eur. Phys. J. B, Volume 1 (1998), p. 151 | DOI

[20] I. S. Gradshteyn; I. M. Ryzhik Tables of integrals, series, and products, Academic Press, San Diego, 1994, 1171 pages | Zbl

[21] H. Kurkjian; Y. Castin; A. Sinatra Concavity of the collective excitation branch of a Fermi gas in the BEC-BCS crossover, Phys. Rev. A, Volume 93 (2016), 013623 | DOI

[22] S. N. Klimin; H. Kurkjian; J. Tempere Anderson-Bogoliubov collective excitations in superfluid Fermi gases at nonzero temperatures, J. Low Temperature Phys., Volume 196 (2019), p. 102 | DOI

[23] S. N. Klimin; J. Tempere; H. Kurkjian Phononic collective excitations in superfluid Fermi gases at nonzero temperatures, Phys. Rev. A, Volume 100 (2019), 063634 | DOI

[24] Z. Hadzibabic; S. Gupta; C. A. Stan; C. H. Schunck; M. W. Zwierlein; K. Dieckmann; W. Ketterle Fiftyfold improvement in the number of quantum degenerate fermionic atoms, Phys. Rev. Lett., Volume 91 (2003), 160401 | DOI

[25] D. S. Petrov; C. Salomon; G. V. Shlyapnikov Weakly bound dimers of fermionic atoms, Phys. Rev. Lett., Volume 93 (2004), 090404 | DOI

[26] A. J. Leggett Cooper pairing in spin-polarized Fermi systems, J. physique Colloq., Volume 41 (1980), pp. C7-19

[27] J. R. Engelbrecht; M. Randeria; C. A. R. Sá de Melo BCS to Bose crossover : Broken-symmetry state, Phys. Rev. B, Volume 55 (1997), p. 15153 | DOI

[28] The BCS-BEC Crossover and the Unitary Fermi Gas (W. Zwerger, ed.), Lecture Notes in Physics 836, Springer, Berlin, 2012 | DOI

[29] Y. Castin; I. Ferrier-Barbut; C. Salomon La vitesse critique de Landau d’une particule dans un superfluide de fermions, C. R. Phys., Volume 16 (2015), p. 241 | DOI

[30] T. Cea; C. Castellani; G. Seibold; L. Benfatto Nonrelativistic dynamics of the amplitude (Higgs) mode in superconductors, Phys. Rev. Lett., Volume 115 (2015), 157002

[31] R. Haussmann; M. Punk; W. Zwerger Spectral functions and rf response of ultracold fermionic atoms, Phys. Rev. A, Volume 80 (2009), 063612 | DOI

Cited by Sources:

Comments - Policy