Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle

Yvan Castin; Hadrien Kurkjian

doi:10.5802/crphys.1

Article de recherche

Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle

Yvan Castin ¹ ; Hadrien Kurkjian ²

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France
² TQC, Universiteit Antwerpen, Universiteitsplein 1, B-2610 Anvers, Belgique

Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 3, pp. 253-310.

Résumé
Abstract

Les gaz de fermions de spin $1 / 2$ non polarisés condensés par paires présentent une branche d’excitation collective dans leur continuum de paire brisée (V.A. Andrianov, V.N. Popov, 1976). Nous en effectuons une étude poussée à température nulle, à partir de l’équation aux énergies propres déduite de la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, puis prolongée analytiquement au demi-plan complexe inférieur à travers sa ligne de coupure, en calculant à la fois la relation de dispersion et les poids spectraux (résidus de quasi-particule) de la branche. Dans le cas des supraconducteurs dits BCS où l’effet du réseau cristallin est remplacé par une interaction attractive à courte portée, mais où l’interaction de Coulomb doit pouvoir être prise en compte, nous nous restreignons à la limite de couplage faible $Δ / μ \to 0^{+}$ ( $Δ$ est le paramètre d’ordre, $μ$ le potentiel chimique) et aux nombres d’onde $q = O (1 / ξ)$ où $ξ$ est la taille d’une paire ; quand l’énergie complexe $z_{q}$ est exprimée en unités de $Δ$ et $q$ en unités de $1 / ξ$ , la branche suit une loi universelle que nous déterminons, insensible à l’interaction de Coulomb. Dans le cas des atomes froids dans le raccordement CBE-BCS, il ne reste qu’une interaction de contact mais le couplage $Δ / μ$ peut prendre des valeurs arbitraires, et nous étudions la branche à tout nombre d’onde. En couplage faible, nous prédisons trois échelles, celle déjà mentionnée $q \approx 1 / ξ$ , celle $q \approx {(Δ / μ)}^{- 1 / 3} / ξ$ où la partie réelle de la relation de dispersion admet un minimum et celle $q \approx (μ / Δ) / ξ \approx k_{F}$ ( $k_{F}$ est le nombre d’onde de Fermi) où la branche atteint le bord de son domaine d’existence. Près du point d’annulation du potentiel chimique du côté BCS, $μ / Δ \to 0^{+}$ , où $ξ \approx k_{F}$ , nous trouvons les deux échelles $q \approx {(μ / Δ)}^{1 / 2} / ξ$ et $q \approx 1 / ξ$ . Dans tous les cas, la branche est de limite $2 Δ$ et de départ quadratique en $q = 0$ . Ces résultats ont été obtenus pour $μ > 0$ , où l’équation aux énergies propres admet au moins deux points de branchement $ϵ_{a} (q)$ et $ϵ_{b} (q)$ sur l’axe réel positif, avec un prolongement analytique par l’intervalle $[ϵ_{a} (q), ϵ_{b} (q)]$ . Nous trouvons de nouvelles branches du continuum en prolongeant analytiquement à travers $[ϵ_{b} (q), + \infty [$ ou même, pour $q$ assez faible, où existe un troisième point de branchement réel positif $ϵ_{c} (q)$ , à travers $[ϵ_{b} (q), ϵ_{c} (q)]$ et $[ϵ_{c} (q), + \infty [$ . Du côté CBE $μ < 0$ non étudié auparavant, où existe un seul point de branchement réel positif $ϵ_{a} (q)$ , nous trouvons également de nouvelles branches sous la ligne de coupure $[ϵ_{a} (q), + \infty [$ . Pour $μ > 0,$ certaines de ces nouvelles branches présentent à faible nombre d’onde un comportement exotique hypoacoustique $z_{q} \approx q^{3 / 2}$ ou hyperacoustique $z_{q} \approx q^{4 / 5}$ . Pour $μ < 0$ , nous trouvons une branche hyperacoustique et une branche non hypoacoustique, de limite $2 Δ$ et de départ quadratique purement réel en $q = 0$ pour $Δ / | μ | < 0, 222$ .

The pair-condensed unpolarized spin- $1 / 2$ Fermi gases have a collective excitation branch in their pair-breaking continuum (V.A. Andrianov, V.N. Popov, 1976). We study it at zero temperature, with the eigenenergy equation deduced from the linearized time-dependent BCS theory and extended analytically to the lower half complex plane through its branch cut, calculating both the dispersion relation and the spectral weights (quasiparticle residues) of the branch. In the case of BCS superconductors, so called because the effect of the ion lattice is replaced by a short-range electron-electron interaction, we also include the Coulomb interaction and we restrict ourselves to the weak coupling limit $Δ / μ \to 0^{+}$ ( $Δ$ is the order parameter, $μ$ the chemical potential) and to wavenumbers $q = O (1 / ξ)$ where $ξ$ is the size of a pair; when the complex energy $z_{q}$ is expressed in units of $Δ$ and $q$ in units of $1 / ξ$ , the branch follows a universal law insensitive to the Coulomb interaction. In the case of cold atoms in the BEC-BCS crossover, only a contact interaction remains, but the coupling strength $Δ / μ$ can take arbitrary values, and we study the branch at any wave number. At weak coupling, we predict three scales, that already mentioned $q \approx 1 / ξ$ , that $q \approx {(Δ / μ)}^{- 1 / 3} / ξ$ where the real part of the dispersion relation has a minimum and that $q \approx (μ / Δ) / ξ \approx k_{F}$ ( $k_{F}$ is the Fermi wave number) where the branch reaches the edge of its existence domain. Near the point where the chemical potential vanishes on the BCS side, $μ / Δ \to 0^{+}$ , where $ξ \approx k_{F}$ , we find two scales $q \approx {(μ / Δ)}^{1 / 2} / ξ$ and $q \approx 1 / ξ$ . In all cases, the branch has a limit $2 Δ$ and a quadratic start at $q = 0$ . These results were obtained for $μ > 0$ , where the eigenenergy equation admits at least two branching points $ϵ_{a} (q)$ and $ϵ_{b} (q)$ on the positive real axis, and for an analytic continuation through the interval $[ϵ_{a} (q), ϵ_{b} (q)]$ . We find new continuum branches by performing the analytic continuation through $[ϵ_{b} (q), + \infty [$ or even, for $q$ low enough, where there is a third real positive branching point $ϵ_{c} (q)$ , through $[ϵ_{b} (q), ϵ_{c} (q)]$ and $[ϵ_{c} (q), + \infty [$ . On the BEC side $μ < 0$ not previously studied, where there is only one real positive branching point $ϵ_{a} (q)$ , we also find new collective excitation branches under the branch cut $[ϵ_{a} (q), + \infty [$ . For $μ > 0$ , some of these new branches have a low-wavenumber exotic hypoacoustic $z_{q} \approx q^{3 / 2}$ or hyperacoustic $z_{q} \approx q^{4 / 5}$ behavior. For $μ < 0$ , we find a hyperacoustic branch and a nonhypoacoustic branch, with a limit $2 Δ$ and a purely real quadratic start at $q = 0$ for $Δ / | μ | < 0.222$ .

Reçu le : 2019-07-26
Révisé le : 2019-10-25
Accepté le : 2019-11-05
Première publication : 2020-06-30
Publié le : 2020-11-19

DOI : 10.5802/crphys.1

Mot clés : Gaz de fermions, Condensat de paires, Modes collectifs, Brisure de paire, Supraconducteur, Atomes froids, Théorie BCS
Keywords: Fermi gases, Pair condensate, Collective modes, Pair breaking, Superconductor, Ultracold atoms, BCS theory

Affiliations des auteurs :

Yvan Castin ¹ ; Hadrien Kurkjian ²

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Yvan Castin; Hadrien Kurkjian. Branche d’excitation collective du continuum dans les gaz de fermions condensés par paires : étude analytique et lois d’échelle. Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 3, pp. 253-310. doi : 10.5802/crphys.1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.5802/crphys.1/

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