[Ramanujan, Landau et Casimir, les séries divergentes : l’approche d’un physicien]
It is a popular paradoxical exercise to show that the infinite sum of positive integer numbers is equal to –1/12, sometimes called the Ramanujan sum. This result is actually well-defined in a proper mathematical sense. Here we propose a qualitative approach, much like that of a physicist, to show how the value –1/12 can make sense and, in fact, appears in certain physical quantities where this type of summation is involved. At the light of two physical examples, taken respectively from condensed matter – the Landau diamagnetism – and quantum electrodynamics – the Casimir effect – that illustrate this strange sum, we present a systematic way to extract this Ramanujan term from the infinity. In both examples, the “infinite” appears to be a vacuum energy and the Ramanujan sum is revealed by a response function to an external parameter.
On présente souvent comme un paradoxe le fait que la somme infinie des entiers positifs puisse être égale à –1/12, ce que l’on appelle parfois la somme de Ramanujan. Ce résultat est en réalité bien défini dans un certain cadre mathématique rigoureux. Ici, nous proposons une approche qualitative, semblable à celle utilisée en physique, pour montrer comment la valeur –1/12 peut avoir un sens, et comment elle apparaît concrètement dans certaines grandeurs physiques faisant intervenir ce type de sommation. À travers deux exemples physiques, l’un issu de la matière condensée – le diamagnétisme de Landau – et l’autre de l’électrodynamique quantique – l’effet Casimir – qui illustrent cette somme étrange, nous présentons une méthode systématique permettant d’extraire ce terme de Ramanujan de l’infini. Dans les deux cas, l’« infini » correspond à une énergie du vide, et la somme de Ramanujan se révèle via une fonction de réponse à un paramètre externe.
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Mots-clés : Séries infinies, Ramanujan, Landau, Casimir
Gilles Montambaux 1
CC-BY 4.0
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Gilles Montambaux. Ramanujan, Landau and Casimir, divergent series: a physicist approach. Comptes Rendus. Physique, Volume 26 (2025), pp. 515-531. doi: 10.5802/crphys.256
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[4] Magnetic oscillations in metals, Cambridge Monographs on Physics, Cambridge University Press, 1984, xxiv+570 pages | DOI
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