On considère les équations de Navier–Stokes compressibles pour des gaz régis par des lois générales de pression et de température, celles-ci étant compatibles avec l'existence d'une entropie et les relations de Gibbs. On étend la méthode de relaxation introduite pour les équations d'Euler par Coquel et Perthame. En conservant les mêmes conditions « sous-caractéristiques » pour les flux hyperboliques et grâce à une décomposition consistante des flux diffusifs basée sur une température globale, on montre la stabilité du système relaxé via le signe de la production d'une certaine entropie. Une analyse asymptotique au premier ordre autour des états d'équilibre confirme le résultat de stabilité. On présente enfin une implémentation numérique de la méthode.
We consider the compressible Navier–Stokes equations for gas flows endowed with general pressure and temperature laws as long as they are compatible with the existence of an entropy and Gibbs relations. We extend the relaxation method introduced for the Euler equations by Coquel and Perthame. Keeping the same “sub-characteristic” conditions for the hyperbolic fluxes and using a consistent splitting of the diffusive fluxes based on a global temperature, we prove the stability of the relaxation system via the sign of the production of a suitable entropy. A first order asymptotic analysis around equilibrium states confirms the stability result. Finally, we present a numerical implementation of the method.
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Emmanuel Bongiovanni 1 ; Alexandre Ern 2 ; Nathalie Glinsky-Olivier 1
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Emmanuel Bongiovanni; Alexandre Ern; Nathalie Glinsky-Olivier. Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier–Stokes compressibles. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 3, pp. 283-288. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00029-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00029-3/
[1] E. Bongiovanni, A. Ern, N. Glinsky-Olivier, Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier–Stokes compressibles. II : validation numérique, Rapport de Recherche INRIA RR-4605, 2002
[2] Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy, Comm. Pure Appl. Math., Volume 48 (1995), pp. 787-830
[3] Relaxation of energy and approximate Riemann solvers for general pressure laws in fluid dynamics, SIAM J. Numer. Anal., Volume 35 (1998), pp. 2223-2249
[4] The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary space dimension, Comm. Pure Appl. Math., Volume 48 (1995), pp. 235-276
[5] Hyperbolic conservation laws with relaxation, Comm. Math. Phys., Volume 108 (1987), pp. 153-175
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