Comptes Rendus
Statistique/Probabilités
Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1029-1032.

Dans cette Note, nous établissons une loi limite presque sûre de type de Acosta (1985) pour une famille de normes Höldériennes. Plus précisément, nous obtenons, pour α∈(0,1/2), la vitesse de convergence, lorsque h↓0, de la quantité

T α,f (h):= inf 0t1-h(2h log (1/h)) -1/2 (W(t+h·)-W(t))-f α
lorsque f𝒮 vérifie 0 1 {d duf(u)} 2 du<1, où 𝒮 désigne l'ensemble de Strassen (1964).

In this Note, we establish a de Acosta (1985) type strong law for a family of Hölder norms. More precisely, we obtain, for α∈(0,1/2), the exact rate of convergence, as h↓0, of

T α,f (h):= inf 0t1-h(2h log (1/h)) -1/2 (W(t+h·)-W(t))-f α
when f𝒮 satisfies 0 1 {d duf(u)} 2 du<1, where 𝒮 denotes the Strassen (1964) set.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00237-1

Alain Lucas 1 ; Emmanuel Thilly 1

1 Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme, Université de Caen, IUT de Caen, 11, boulevard Jules Ferry, 14100 Lisieux, France
@article{CRMATH_2003__336_12_1029_0,
     author = {Alain Lucas and Emmanuel Thilly},
     title = {Loi de type {Chung} en norme de {H\"older} pour les accroissements locaux du mouvement {Brownien}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1029--1032},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {12},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00237-1},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Alain Lucas
AU  - Emmanuel Thilly
TI  - Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 1029
EP  - 1032
VL  - 336
IS  - 12
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00237-1
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__336_12_1029_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Alain Lucas
%A Emmanuel Thilly
%T Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 1029-1032
%V 336
%N 12
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(03)00237-1
%G fr
%F CRMATH_2003__336_12_1029_0
Alain Lucas; Emmanuel Thilly. Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1029-1032. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00237-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00237-1/

[1] A. de Acosta On the functional form of Lévy's modulus of continuity for Brownian motion, Z.W.G., Volume 69 (1985), pp. 567-579

[2] P. Baldi; G. Ben Arous; G. Kerkyacharian Large deviations and the Strassen theorem in Hölder norm, Stochastic Process. Appl., Volume 42 (1992), pp. 171-180

[3] P. Baldi; B. Roynette Some exact equivalents for the Brownian motion in Hölder norm, Probab. Theory Related Fields, Volume 93 (1992), pp. 457-484

[4] P. Berthet, Vitesses de recouvrement dans les lois fonctionnelles du logarithme itéré pour les increments du processus empirique uniforme avec applications statistiques, Thèse de l'Université Paris 6, 1996

[5] P. Berthet Functional law and clustering rates for sets of Wiener process in Hölder topology, Limit Theorems in Probability and Statistics, Balatonlelle, 1999, Janos Bolyai Mathematical Society, Budapest, 2002, pp. 159-179

[6] M. Csörgő; P. Révész How small are the increments of a Wiener process?, Stochastic Process. Appl., Volume 8 (1979), pp. 119-129

[7] N. Gorn; M. Lifshits Chung's law and Csáki function, J. Theoret. Probab., Volume 12 (1999), pp. 399-420

[8] J. Kuelbs; W. Li Small ball estimates for Brownian motion and the Brownian sheet, J. Theoret. Probab., Volume 6 (1993), pp. 547-577

[9] P. Lévy Processus Stochastique et Mouvement Brownien, Gauthier-Villars, 1948

[10] A. Lucas Fractale aléatoires de type Chung pour les accroissements du processus de Wiener, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 326 (1998), pp. 1123-1126

[11] V. Strassen An invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z.W.G., Volume 3 (1964), pp. 211-226

[12] Q. Wei Functional modulus of continuity for Brownian motion in Hölder norm, Chinese Ann. Math. Ser. B, Volume 22 (2001), pp. 223-232

Cité par Sources :

Commentaires - Politique