Comptes Rendus
Géométrie différentielle
Formalité quotient
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1007-1010.

On connait depuis longtemps l'existence de star-produits différentiels sur les variétés symplectiques. En particulier on sait, depuis le tout début de la théorie des star-produits, que les variétés de dimension 2, comme la sphère, admettent des star-produits. Cependant, on peut dire qu'on ne sait pas, même dans un cas aussi simple, construire des star-produits explicites.

Dans cette Note, on remarque que si PM est un fibré principal de groupe structurel G admettant une connexion plate ∇ et si P est muni d'une formalité G-invariante , on peut définir naturellement une formalité quotient sur M. Ceci nous permet de construire des formalités canoniques sur des exemples, dont les sphères, en partant de la formalité explicite de M. Kontsevich sur d . On définit ainsi un star-produit « canonique » sur la sphère S2.

In this Note, we consider a principal fibre bundle PM with structural group G, endowed with a flat connection. Supposing there is a G invariant formality on P, we can define a quotient formality on the basis M of our fibre bundle. We give a few examples, especially for the spheres Sd. If d=2, this defines a canonical differential star-product on the sphere S2. The construction of such a star-product was a classical and very old question in deformation theory.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00240-1

Didier Arnal 1 ; Najla Dahmene 2 ; Khaled Tounsi 3

1 Université de Bourgogne, laboratoire Gevrey de mathématique physique, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France
2 Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabes, 6029, route de Medenine, Gabes, Tunisie
3 Département de mathématiques, faculté des sciences de Sfax, BP 802, 3038 Sfax, Tunisie
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Didier Arnal; Najla Dahmene; Khaled Tounsi. Formalité quotient. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1007-1010. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00240-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00240-1/

[1] F. Bayen; M. Flato; C. Fronsdal; A. Lichnerowicz; D. Sternheimer Deformation theory and quantization I, II, Ann. Phys., Volume 111 (1978), pp. 61-110 (111–151)

[2] F. Bayen; C. Fronsdal Quantization on the sphere, J. Math. Phys., Volume 22 (1981) no. 7, pp. 1345-1349

[3] M. Cahen; S. Gutt; J. Rawnsley Quantization of Kähler manifolds. I. Geometric interpretation of Berezin's quantization, J. Geom. Phys., Volume 7 (1990) no. 1, pp. 45-62

[4] G. Dito Kontsevich star-product on the dual of a Lie algebra, Lett. Math. Phys., Volume 48 (1999) no. 4, pp. 307-322

[5] C. Fronsdal Some ideas about quantization, Rep. Math. Phys., Volume 15 (1979) no. 1, pp. 111-145

[6] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds I, Preprint, 1997. | arXiv

[7] S. Kobayashi; K. Nomizu Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley, New York, 1963

[8] A. Lichnerowicz Construction of twisted products for cotangent bundles of classical groups and Stieffel manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 2 (1977), pp. 133-143

[9] C. Moreno ★-products on some Kähler manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 11 (1986) no. 4, pp. 361-372

[10] O.M. Neroslavsky; A.T. Vlassov Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 292 (1981) no. 1, pp. 71-73

[11] J. Vey Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplectique, Comm. Math. Helv., Volume 50 (1975), pp. 421-454

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