Comptes Rendus
no. 12
Géométrie différentielle
Formalité quotient

Présenté par : Michèle Vergne

Didier Arnal1 ; Najla Dahmene2 ; Khaled Tounsi3
1 Université de Bourgogne, laboratoire Gevrey de mathématique physique, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France
2 Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabes, 6029, route de Medenine, Gabes, Tunisie
3 Département de mathématiques, faculté des sciences de Sfax, BP 802, 3038 Sfax, Tunisie
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1007-1010.

On connait depuis longtemps l'existence de star-produits différentiels sur les variétés symplectiques. En particulier on sait, depuis le tout début de la théorie des star-produits, que les variétés de dimension 2, comme la sphère, admettent des star-produits. Cependant, on peut dire qu'on ne sait pas, même dans un cas aussi simple, construire des star-produits explicites.

Dans cette Note, on remarque que si P→M est un fibré principal de groupe structurel G admettant une connexion plate ∇ et si P est muni d'une formalité G-invariante ℱ, on peut définir naturellement une formalité quotient ℱ ∨ sur M. Ceci nous permet de construire des formalités canoniques sur des exemples, dont les sphères, en partant de la formalité explicite de M. Kontsevich sur ℝ d . On définit ainsi un star-produit « canonique » sur la sphère S2.

In this Note, we consider a principal fibre bundle P→M with structural group G, endowed with a flat connection. Supposing there is a G invariant formality ℱ on P, we can define a quotient formality ℱ ∨ on the basis M of our fibre bundle. We give a few examples, especially for the spheres Sd. If d=2, this defines a canonical differential star-product on the sphere S2. The construction of such a star-product was a classical and very old question in deformation theory.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00240-1
Didier Arnal 1 ; Najla Dahmene 2 ; Khaled Tounsi 3

1 Université de Bourgogne, laboratoire Gevrey de mathématique physique, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France
2 Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabes, 6029, route de Medenine, Gabes, Tunisie
3 Département de mathématiques, faculté des sciences de Sfax, BP 802, 3038 Sfax, Tunisie 
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Didier Arnal; Najla Dahmene; Khaled Tounsi. Formalité quotient. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 12, pp. 1007-1010. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00240-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00240-1/

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