On the fundamental theorem of surface theory under weak regularity assumptions

Sorin Mardare

doi:10.1016/j.crma.2003.10.027

Differential Geometry/Mathematical Problems in Mechanics

On the fundamental theorem of surface theory under weak regularity assumptions
[Sur le théorème fondamental de la théorie des surfaces sous des hypothèses faibles de régularité]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Sorin Mardare ¹

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 1, pp. 71-76.

Résumé
Abstract

On considère un champ de matrices symétriques définies positives d'ordre deux et un champ de matrices symétriques d'ordre deux qui satisfont ensemble les équations de Gauss et de Codazzi–Mainardi dans un ouvert connexe et simplement connexe de $ℝ^{2}$ . Si ces champs sont respectivement de classe C² et C¹, alors le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme qu'il existe une surface plongée dans l'espace Euclidean tridimensionnel dont ces champs sont les première et deuxième formes fondamentales. L'objet de cette Note est d'établir que ce théorème reste vrai sous les hypothèses de régularités affaiblies selon lesquelles ces champs sont respectivement de classe W^1,∞_loc et L^∞_loc, les équations the Gauss et de Codazzi–Mainardi étant alors satisfaites aux sens des distributions.

We consider a symmetric, positive definite matrix field of order two and a symmetric matrix field of order two that together satisfy the Gauss and Codazzi–Mainardi equations in a connected and simply connected open subset of $ℝ^{2}$ . If these fields are of class C² and C¹ respectively, the fundamental theorem of surface theory asserts that there exists a surface immersed in the three-dimensional Euclidean space with the given matrix fields as its first and second fundamental forms. The purpose of this Note is to prove that this theorem still holds true under the weaker regularity assumptions that these fields are of class W^1,∞_loc and L^∞_loc respectively, the Gauss and Codazzi–Mainardi equations being then understood in a distributional sense.

Reçu le : 2003-09-22
Accepté le : 2003-10-04
Publié le : 2003-12-03

DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.027

Affiliations des auteurs :

Sorin Mardare ¹

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

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Sorin Mardare. On the fundamental theorem of surface theory under weak regularity assumptions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 1, pp. 71-76. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.027. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.10.027/

Bibliographie
Cité par

[1] P.G. Ciarlet; F. Larsonneur On the recovery of a surface with prescribed first and second fundamental forms, J. Math. Pures Appl., Volume 81 (2002), pp. 167-185

[2] P. Hartman; A. Wintner On the fundamental equations of differential geometry, Amer. J. Math., Volume 72 (1950), pp. 757-774

[3] H. Jacobowitz The Gauss–Codazzi equations, Tensor (N.S.), Volume 39 (1982), pp. 15-22

[4] W. Klingenberg A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1978

[5] S. Mardare On isometric immersions of a Riemannian space under weak regularity assumptions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003), pp. 785-790

[6] S. Mardare, The fundamental theorem of surface theory for surfaces with little regularity, in press

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