Computation of the Maslov index and the spectral flow via partial signatures

Roberto Giambò; Paolo Piccione; Alessandro Portaluri

doi:10.1016/j.crma.2004.01.004

Differential Geometry

Computation of the Maslov index and the spectral flow via partial signatures
[Calcul de l'indice de Maslov et du flux spectral au moyen de signatures partielles]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Roberto Giambò ¹ ; Paolo Piccione ² ; Alessandro Portaluri ²

¹ Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Camerino, 62032 Camerino, MC, Italy
² Departamento de Matemática, Instituto de Matemática e Estatı́stica, Universidade de São Paulo, Rua do Matão 1010, CEP 05508-900, São Paulo, SP, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 397-402.

Résumé
Abstract

Etant donné un chemin régulier de lagrangiens, nous introduisons dans le cas de la dimension finie et le cas (Fredholm) de dimension infinie la notion de signatures partielles en chaque intersection isolée d'un tel chemin avec le cycle de Maslov. En utilisant les signatures partielles, nous donnerons une formule de calcul de l'indice de Maslov. Une formule semblabe vaut pour le flux spectral de chemins réel-analytiques d'opérateurs auto-adjoints de Fredholm sur des espaces de Hilbert réels et séparables. Comme application de la théorie, nous obtenons une version semi-Riemannienne du théorème de l'indice de Morse dans le cas de géodésiques avec des points initiaux conjugués. Enfin, nous démontrons un résultat de bifurcation en ces points conjugués le long des géodésiques semi-Riemanniennes.

Given a smooth Lagrangian path, both in the finite and in the infinite dimensional (Fredholm) case, we introduce the notion of partial signatures at each isolated intersection of the path with the Maslov cycle. For real-analytic paths, we give a formula for the computation of the Maslov index using the partial signatures; a similar formula holds for the spectral flow of real-analytic paths of Fredholm self-adjoint operators on real separable Hilbert spaces. As applications of the theory, we obtain a semi-Riemannian version of the Morse index theorem for geodesics with possibly conjugate endpoints, and we prove a bifurcation result at conjugate points along semi-Riemannian geodesics.

Reçu le : 2003-09-18
Accepté le : 2004-01-06
Publié le : 2004-02-07

DOI : 10.1016/j.crma.2004.01.004

Affiliations des auteurs :

Roberto Giambò ¹ ; Paolo Piccione ² ; Alessandro Portaluri ²

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Roberto Giambò; Paolo Piccione; Alessandro Portaluri. Computation of the Maslov index and the spectral flow via partial signatures. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 5, pp. 397-402. doi : 10.1016/j.crma.2004.01.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.01.004/

Bibliographie
Cité par

[1] B. Booss-Bavnek; K. Furutani The Maslov index: a functional analytical definition and the spectral flow formula, Tokyo J. Math., Volume 21 (1998) no. 1, pp. 1-34

[2] J.J. Duistermaat On the Morse index in variational calculus, Adv. Math., Volume 21 (1976), pp. 173-195

[3] M. de Gosson La relation entre Sp_∞, revêtement universel du groupe symplectique, et $Sp \times ℤ$ , and Le définition de l'indice de Maslov sans hypothèse de transversalité, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 310 (1990), pp. 245-248 (and 279–282)

[4] M.S. Farber; J.P. Levine Jumps of the eta-invariant, Math. Z., Volume 223 (1996) no. 2, pp. 197-246

[5] P. Kirk; E. Klassen The spectral flow of the odd signature operator and higher Massey products, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 121 (1997) no. 2, pp. 297-320

[6] G. Lions; M. Vergne The Weil Representation, Maslov Index and Theta Series, Progr. Math., vol. 6, Birkäuser, Boston, 1980

[7] J. Phillips Self-adjoint Fredholm operators and spectral flow, Canad. Math. Bull., Volume 39 (1996) no. 4, pp. 460-467

[8] P. Piccione; D.V. Tausk The Morse index theorem in semi-Riemannian geometry, Topology, Volume 41 (2002) no. 6, pp. 1123-1159

[9] P.J. Rabier Generalized Jordan chains and two bifurcation theorems of Krasnosel'skii, Nonlinear Anal., Volume 13 (1989), pp. 903-934

[10] J. Robbin; D. Salamon The Maslov index for paths, Topology, Volume 32 (1993) no. 4, pp. 827-844

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