Comptes Rendus
no. 6
Probabilités
Un principe d'invariance relatif à un processus généralisant le mouvement brownien N-dimensionnel

Présenté par : Marc Yor

Léonard Gallardo1 ; Laurent Godefroy1
1 Laboratoire de mathématiques et physique théorique, Université de Tours, parc de Grandmont, 37200 Tours, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 6, pp. 487-492.

Nous montrons que les marches aléatoires généralisées sur ℝ N associées à un système de racines R et à une fonction k de multiplicité, positive et définie sur R, convergent en loi (quand elles sont convenablement normalisées) vers un processus de Markov à trajectoires càdlàg dont le générateur infinitésimal est un opérateur différentiel et aux différences qui généralise le laplacien usuel.

We prove that the generalized random walks associated to a root system R in ℝ N and a nonnegative multiplicity function k defined on R, converge in distribution (if suitably normalized) to a Markov process with càdlàg trajectories and infinitesimal generator a differential-difference operator on ℝ N which generalizes the usual Laplacian.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.01.016
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Léonard Gallardo; Laurent Godefroy. Un principe d'invariance relatif à un processus généralisant le mouvement brownien N-dimensionnel. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 6, pp. 487-492. doi : 10.1016/j.crma.2004.01.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.01.016/

[1] M.D. Donsker An invariance principle for certain probability limit theorems, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 1951 (1951) no. 6, p. 12

[2] C.F. Dunkl Differential-difference operators associated to reflection groups, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 311 (1989) no. 1, pp. 167-183

[3] L. Gallardo Le théorème de continuité de Paul Lévy dans un espace produit, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 315 (1992) no. 1, pp. 73-77

[4] D. Pollard Convergence of Stochastic Processes, Springer Ser. Statist., Springer-Verlag, New York, 1984

[5] D. Revuz; M. Yor Continuous Martingales and Brownian Motion, Grundlehren Math. Wiss., vol. 293, Springer-Verlag, Berlin, 1999

[6] M. Rösler A positive radial product formula for the Dunkl kernel, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 355 (2003) no. 6, pp. 2413-2438

[7] M. Rösler; M. Voit Markov processes related with Dunkl operators, Adv. Appl. Math., Volume 21 (1998) no. 4, pp. 575-643

[8] H. Zeuner Invariance principles for random walks on hypergroups on R + and N, J. Theoret. Probab., Volume 7 (1994) no. 2, pp. 225-245

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