Si est l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres F, et a une infinité d'unités, nous prouvons qu'aucun sous-groupe d'indice fini de n'est ordonnable à gauche. (En d'autres termes, les sous-groupes d'indice fini de ne possèdent pas d'action non triviale sur la droite réelle respectant l'orientation.) Cela implique que si G est un groupe algébrique F-simple isotrope, défini sur un corps de nombres F, alors aucun sous-groupe S-arithmétique non-archimédien de G n'est ordonnable à gauche. La démonstration est fondée sur le fait, dû à D. Carter, G. Keller, et E. Paige, que chaque élément de est le produit d'un nombre borné de matrices élémentaires.
If is the ring of S-integers of an algebraic number field F, and has infinitely many units, we show that no finite-index subgroup of is left orderable. (Equivalently, these subgroups have no nontrivial orientation-preserving actions on the real line.) This implies that if G is an isotropic F-simple algebraic group over an algebraic number field F, then no nonarchimedean S-arithmetic subgroup of G is left orderable. Our proofs are based on the fact, proved by D. Carter, G. Keller, and E. Paige, that every element of is a product of a bounded number of elementary matrices.
@article{CRMATH_2004__339_6_417_0, author = {Lucy Lifschitz and Dave Witte Morris}, title = {Isotropic nonarchimedean {\protect\emph{S}-arithmetic} groups are not left orderable}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {417--420}, publisher = {Elsevier}, volume = {339}, number = {6}, year = {2004}, doi = {10.1016/j.crma.2004.07.015}, language = {en}, }
Lucy Lifschitz; Dave Witte Morris. Isotropic nonarchimedean S-arithmetic groups are not left orderable. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 6, pp. 417-420. doi : 10.1016/j.crma.2004.07.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.07.015/
[1] D. Carter, G. Keller, E. Paige, Bounded expressions in , preprint
[2] On the construction of division chains in algebraic number rings, with applications to , Commun. Algebra, Volume 3 (1975), pp. 481-524
[3] Non-left-orderable 3-manifold groups (preprint) | arXiv
[4] Actions de réseaux sur le cercle, Invent. Math., Volume 137 (1999) no. 1, pp. 199-231
[5] Groups acting on the circle, Ens. Math., Volume 47 (2001) no. 3/4, pp. 329-407
[6] Beschränkte Wortlänge in , Math. Z., Volume 186 (1984) no. 4, pp. 509-524
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[8] On the congruence subgroup problem, II, Invent. Math., Volume 85 (1986), pp. 73-117
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Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Explicit left orders on free groups extending the lexicographic order on free monoids
Zoran Šunić
C. R. Math (2013)