Comptes Rendus
Statistique
Uniformité en h dans la loi fonctionnelle limite uniforme les accroissements du processus empirique indéxé par des fonctions
[Uniformity in h in the functional limit law for the increments of the empirical process indexed by functions]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 453-456.

Let (Zi)i1 be an i.i.d. sequence being such that Z1 has a continuous, strictly positive density f on an open subset ORd. Let HO be a compact subset with nonempty interior and let G be a class of real Borel functions on Rd. For each zH and h>0, we set the following G-indexed stochastic process:

Gn(K,h,z):=i=1nK(Zizh1/d)E(K(Zizh1/d)),KG.
Let (h˜n)n1 and (hn)n1 be two sequences fulfilling the Csörgő–Révész–Stute conditions and satisfying hn<h˜n. Under some assumptions upon the class G (see [Ann. Probab. 32 (2) (2004) 1391]), we establish a uniform functional limit law for the processes Gn(,h,z),zH, which holds uniformly in hnhh˜n. This result is in the same vein as in Einmahl and Mason (preprint, 2003).

Soit (Zi)i1 une suite i.i.d. dont la loi commune sur Rd admet une densité continue et strictement positive sur un ouvert O de Rd. Soit HO un compact d'intérieur non vide, et soit G une classe de fonctions réelles boréliennes sur Rd. Pour tous zH et pour tout h>0, on définit le processus stochastique indexé par G suivant :

Gn(K,h,z):=i=1nK(Zizh1/d)E(K(Zizh1/d)),KG.
Soient (h˜n)n1 et (hn)n1 deux suites vérifiant les conditions de Csörgő–Révész–Stute, et telles que hn<h˜n. Sous les hypothèses proposées par Mason sur la classe G (voir [Ann. Probab. 32 (2) (2004) 1391]), nous établissons une loi fonctionnelle limite uniforme pour les processus Gn(,h,z),zH, qui a lieu uniformément en hnhh˜n. Ce résultat complète celui obtenu par Einmahl et Mason (preprint, 2003).

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DOI: 10.1016/j.crma.2005.02.009

Davit Varron 1

1 ENSAI, 6, rue Blaise-Pascal, 35170 Bruz, France
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Davit Varron. Uniformité en h dans la loi fonctionnelle limite uniforme les accroissements du processus empirique indéxé par des fonctions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 453-456. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.02.009/

[1] M.A. Arcones The large deviation principle of stochastic processes, Part 1, Teor. Veroyatnost. i Primenen., Volume 47 (2002) no. 1, pp. 122-150

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[3] D. Mason A uniform functional law of the iterated logarithm for the local empirical process, Ann. Probab., Volume 32 (2004) no. 2, pp. 1391-1418

[4] M. Talagrand Sharper bounds for Gaussian and empirical processes, Ann. Probab., Volume 22 (1994), pp. 28-76

[5] A.Yu. Zaitsev Estimates of the Levy–Prokhorov distance in the multidimensional central limit theorem for random variables with finite exponential moment, Theor. Probab. Appl., Volume 31 (1987) no. 2, pp. 203-220

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