Uniformité en <i>h</i> dans la loi fonctionnelle limite uniforme les accroissements du processus empirique indéxé par des fonctions

Davit Varron

doi:10.1016/j.crma.2005.02.009

Statistique

Uniformité en h dans la loi fonctionnelle limite uniforme les accroissements du processus empirique indéxé par des fonctions

Présenté par : Paul Deheuvels

Davit Varron ¹

¹ ENSAI, 6, rue Blaise-Pascal, 35170 Bruz, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 453-456.

Résumé
Abstract

Soit ${(Z_{i})}_{i ⩾ 1}$ une suite i.i.d. dont la loi commune sur $R^{d}$ admet une densité continue et strictement positive sur un ouvert O de $R^{d}$ . Soit $H \subset O$ un compact d'intérieur non vide, et soit $G$ une classe de fonctions réelles boréliennes sur $R^{d}$ . Pour tous $z \in H$ et pour tout $h > 0$ , on définit le processus stochastique indexé par $G$ suivant :

G_{n} (K, h, z) : = \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{Z_{i} - z}{h^{1 / d}}) - E (K (\frac{Z_{i} - z}{h^{1 / d}})), K \in G .

Soient

{({\tilde{h}}_{n})}_{n ⩾ 1}

{(h_{n})}_{n ⩾ 1}

deux suites vérifiant les conditions de Csörgő–Révész–Stute, et telles que

h_{n} < {\tilde{h}}_{n}

. Sous les hypothèses proposées par Mason sur la classe

G

(voir [Ann. Probab. 32 (2) (2004) 1391]), nous établissons une loi fonctionnelle limite uniforme pour les processus

G_{n} (\cdot, h, z), z \in H

, qui a lieu uniformément en

h_{n} ⩽ h ⩽ {\tilde{h}}_{n}

. Ce résultat complète celui obtenu par Einmahl et Mason (preprint, 2003).

Let ${(Z_{i})}_{i ⩾ 1}$ be an i.i.d. sequence being such that $Z_{1}$ has a continuous, strictly positive density f on an open subset $O \subset R^{d}$ . Let $H \subset O$ be a compact subset with nonempty interior and let $G$ be a class of real Borel functions on $R^{d}$ . For each $z \in H$ and $h > 0$ , we set the following $G$ -indexed stochastic process:

G_{n} (K, h, z) : = \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{Z_{i} - z}{h^{1 / d}}) - E (K (\frac{Z_{i} - z}{h^{1 / d}})), K \in G .

Let

{({\tilde{h}}_{n})}_{n ⩾ 1}

and

{(h_{n})}_{n ⩾ 1}

be two sequences fulfilling the Csörgő–Révész–Stute conditions and satisfying

h_{n} < {\tilde{h}}_{n}

. Under some assumptions upon the class

G

(see [Ann. Probab. 32 (2) (2004) 1391]), we establish a uniform functional limit law for the processes

G_{n} (\cdot, h, z), z \in H

, which holds uniformly in

h_{n} ⩽ h ⩽ {\tilde{h}}_{n}

. This result is in the same vein as in Einmahl and Mason (preprint, 2003).

Reçu le : 2004-10-15
Accepté le : 2005-01-27
Publié le : 2005-03-02

DOI : 10.1016/j.crma.2005.02.009

Affiliations des auteurs :

Davit Varron ¹

¹ ENSAI, 6, rue Blaise-Pascal, 35170 Bruz, France

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Davit Varron. Uniformité en h dans la loi fonctionnelle limite uniforme les accroissements du processus empirique indéxé par des fonctions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 453-456. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.02.009/

Bibliographie
Cité par

[1] M.A. Arcones The large deviation principle of stochastic processes, Part 1, Teor. Veroyatnost. i Primenen., Volume 47 (2002) no. 1, pp. 122-150

[2] U. Einmahl; D.M. Mason An empirical process approach to the uniform consistency of kernel type estimators, J. Theoretic. Probab., Volume 13 (2000), pp. 1-13

[3] D. Mason A uniform functional law of the iterated logarithm for the local empirical process, Ann. Probab., Volume 32 (2004) no. 2, pp. 1391-1418

[4] M. Talagrand Sharper bounds for Gaussian and empirical processes, Ann. Probab., Volume 22 (1994), pp. 28-76

[5] A.Yu. Zaitsev Estimates of the Levy–Prokhorov distance in the multidimensional central limit theorem for random variables with finite exponential moment, Theor. Probab. Appl., Volume 31 (1987) no. 2, pp. 203-220

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