L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet

Ramachandran Balasubramanian; Bruno Calado; Hervé Queffélec

doi:10.1016/j.crma.2005.10.014

Analyse mathématique

L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Ramachandran Balasubramanian ¹ ; Bruno Calado ² ; Hervé Queffélec ³

¹ The Institute of Mathematical Sciences, Chennai 600 113, Inde
² Université Paris-Sud XI, centre d'Orsay, laboratoire de mathématiques, bâtiment 425, 91405 Orsay, France
³ UFR de mathématiques, université de Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 1, pp. 7-10.

Résumé
Abstract

Nous étendons au cas des séries de Dirichlet des résultats de H. Bohr pour les séries de Taylor en une variable, eux-mêmes généralisés par Paulsen, Popescu et Singh, ou étendus au cas de plusieurs variables par Aizenberg, Boas et Khavinson. Nous montrons notamment que, si $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n^{- s}$ , avec $‖ f ‖_{\infty} : = \sup_{R s > 0} | f (s) | < \infty$ , alors $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{−2} ⩽ ‖ f ‖_{\infty}$ et même légèrement mieux, et $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{- 1 / 2} ⩽ C ‖ f ‖_{\infty}$ , C étant une constante absolue.

We extend to the setting of Dirichlet series previous results of Bohr for Taylor series in one variable, themselves generalized by Paulsen, Popescu and Singh or extended to several variables by Aizenberg, Boas and Khavinson. We show in particular that, if $f (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n^{- s}$ , with $‖ f ‖_{\infty} : = \sup_{R s > 0} | f (s) | < \infty$ , then $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{−2} ⩽ ‖ f ‖_{\infty}$ and even slightly better, and $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | n^{- 1 / 2} ⩽ C ‖ f ‖_{\infty}$ , C being an absolute constant.

Reçu le : 2005-09-19
Accepté le : 2005-10-11
Publié le : 2005-11-17

DOI : 10.1016/j.crma.2005.10.014

Affiliations des auteurs :

Ramachandran Balasubramanian ¹ ; Bruno Calado ² ; Hervé Queffélec ³

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Ramachandran Balasubramanian; Bruno Calado; Hervé Queffélec. L'inégalité de Bohr pour les séries de Dirichlet. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 1, pp. 7-10. doi : 10.1016/j.crma.2005.10.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.10.014/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Aizenberg Multidimensional analogues of Bohr's theorem on power series, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 128 (2000) no. 4, pp. 1147-1155

[2] F. Bayart, Opérateurs de composition sur des espaces de séries de Dirichlet et problèmes d'hypercyclicité simultanés, Thèse à l'Université des Sciences et Technologies de Lille, 2002

[3] F. Bayart Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators, Monat. Math., Volume 136 (2002), pp. 203-236

[4] C. Bénéteau, B. Korenblum, Some coefficient estimates for $H^{p}$ functions, in: Karmiel Conference Proceedings, 2001

[5] C. Bénéteau, A. Dahlner, D. Khavinson, Remarks on the Bohr phenomenon, Preprint

[6] R.P. Boas; D. Khavinson Bohr's power series theorem in several variables, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 125 (1997) no. 10, pp. 2975-2979

[7] H.F. Bohnenblust; E. Hille On the absolute convergence of Dirichlet series, Ann. Math., Volume 2 (1931), pp. 600-622

[8] H. Bohr A theorem concerning power series, Proc. London Math. Soc., Volume 13 (1914) no. 2, pp. 1-5

[9] E. Bombieri; J. Bourgain A remark on Bohr's inequality, Int. Math. Res. Not., Volume 80 (2004), pp. 4307-4330

[10] B.J. Cole; T.W. Gamelin Representing measures and Hardy spaces for the infinite polydisk algebra, Proc. London Math. Soc., Volume 53 (1986), pp. 112-142

[11] A. Defant; D. Garcia; M. Maestre Bohr's power series theorem and local Banach space theory, J. Reine Angew. Math., Volume 557 (2003), pp. 173-197

[12] P.G. Dixon Banach algebras satisfying the non-unital Von Neumann inequality, Bull. London Math. Soc., Volume 27 (1995), pp. 359-362

[13] H. Helson Dirichlet Series, Regent Press, 2005

[14] S.V. Konyagin; H. Queffélec The translation $1 / 2$ in the theory of Dirichlet series, Real Anal. Exchange, Volume 27 (2002), pp. 155-176

[15] V.I. Paulsen; G. Popescu; D. Singh On Bohr's inequality, Proc. London Math. Soc., Volume 3 (2002) no. 85, pp. 493-512

[16] H. Queffélec Harald Bohr's vision of Dirichlet series; old and new results, J. Anal., Volume 3 (1995), pp. 43-60

[17] J. Sawa The best constant in the Khintchine inequality for complex Steinhaus variables, the case $p = 1$ , Studia Math., Volume 81 (1985), pp. 107-126

[18] F.B. Weissler Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractive estimates on the circle, J. Funct. Anal., Volume 37 (1980), pp. 218-234

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