Comptes Rendus
no. 3
Algebra/Topology
Stabilization of the Witt group
[Stabilisation du groupe de Witt]

Présenté par : Alain Connes

Max Karoubi1
1 Département de mathématiques, UMR 7586 du CNRS, case 7012, université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 3, pp. 165-168.

En utilisant une idée due à Thomason, nous définissons dans cette Note une « théorie de l'homologie » sur la catégorie des anneaux qui satisfait aux propriétés d'excision, d'exactitude, d'homotopie (au sens algébrique) et de périodicité d'ordre 4. Pour les anneaux noethériens réguliers, nous retrouvons les groupes de Witt supérieurs de Balmer. Pour des anneaux plus généraux, cette homologie est isomorphe à la KT-théorie définie par Hornbostel et inspirée par le travail de Williams. Pour les algèbres stellaires, réelles ou complexes, nous retrouvons – à la 2 torsion près – la K-théorie topologique.

In this Note, using an idea due to Thomason, we define a “homology theory” on the category of rings which satisfies excision, exactness, homotopy (in the algebraic sense) and periodicity of order 4. For regular noetherian rings, we find Balmer's higher Witt groups. For more general rings, this homology is isomorphic to the KT-theory of Hornbostel, inspired by the work of Williams. For real or complex C∗-algebras, we recover – up to 2 torsion – topological K-theory.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.12.014
Max Karoubi 1

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Max Karoubi. Stabilization of the Witt group. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 3, pp. 165-168. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.12.014/

[1] P. Balmer Witt groups, Handbook of K-Theory, Springer-Verlag, 2005

[2] G. Cortinas; C. Haesemeyer; M. Schlichting; C. Weibel Cyclic homology, cdh-cohomology and negative K-theory http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0722/

[3] J. Hornbostel A1 representability of Hermitian K-theory and Witt groups, Topology, Volume 44 (2005), pp. 661-687

[4] M. Karoubi Théorie de Quillen et homologie du groupe orthogonal, Ann. Math., Volume 112 (1980), pp. 207-257

[5] M. Karoubi Le théorème fondamental de la K-théorie hermitienne, Ann. Math., Volume 112 (1980), pp. 259-282

[6] M. Karoubi; O. Villamayor K-théorie algébrique et K-théorie topologique II, Math. Scand., Volume 32 (1973), pp. 57-86

[7] M. Schlichting, in press

[8] R. Thomason Algebraic K-theory and etale cohomology, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 13 (1985), pp. 437-552

[9] B. Williams Quadratic K-theory and geometric topology, Handbook of K-Theory, Springer-Verlag, 2005

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