Extended Picard complexes for algebraic groups and homogeneous spaces

Mikhail Borovoi; Joost van Hamel

doi:10.1016/j.crma.2006.02.030

Algebraic Geometry/Group Theory

Extended Picard complexes for algebraic groups and homogeneous spaces

Presented by: Jean-Pierre Serre

Mikhail Borovoi ¹; Joost van Hamel ²

¹ School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, 69978 Tel Aviv, Israel
² K.U. Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 9, pp. 671-674.

Abstract
Résumé

For a smooth geometrically integral algebraic variety X over a field k of characteristic 0, we define the extended Picard complex $UPic (\bar{X})$ . It is a complex of length 2 which combines the Picard group $Pic (\bar{X})$ and the group $U (\bar{X}) : = \bar{k} {[\bar{X}]}^{\times} / {\bar{k}}^{\times}$ , where $\bar{k}$ is a fixed algebraic closure of k and $\bar{X} = X \times_{k} \bar{k}$ . For a connected linear k-group G we compute the complex $UPic (\bar{G})$ (up to a quasi-isomorphism) in terms of the algebraic fundamental group $π_{1} (\bar{G})$ . We obtain similar results for a homogeneous space X of a connected k-group G.

Soient k un corps de caractéristique zéro et X une k-variété algébrique lisse et géométriquement intègre. Nous définissons le complexe de Picard étendu $UPic (\bar{X})$ . C'est un complexe de longueur 2 qui combine le groupe de Picard $Pic (\bar{X})$ et le groupe $U (\bar{X}) : = \bar{k} {[\bar{X}]}^{\times} / {\bar{k}}^{\times}$ , où $\bar{k}$ est une clôture algébrique fixée de k et $\bar{X} = X \times_{k} \bar{k}$ . Pour un k-groupe linéaire connexe G, nous calculons le complexe $UPic (\bar{G})$ (à quasi-isomorphisme près) en termes du groupe fondamental algébrique $π_{1} (\bar{G})$ . Nous obtenons des résultats similaires pour un espace homogène X d'un k-groupe connexe G.

Received: 2006-01-23
Accepted: 2006-02-21
Published online: 2006-03-29

DOI: 10.1016/j.crma.2006.02.030

Author's affiliations:

Mikhail Borovoi ¹; Joost van Hamel ²

¹ School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, 69978 Tel Aviv, Israel
² K.U. Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Mikhail Borovoi; Joost van Hamel. Extended Picard complexes for algebraic groups and homogeneous spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 9, pp. 671-674. doi : 10.1016/j.crma.2006.02.030. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.02.030/

References
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