Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D

Arnaud Münch

doi:10.1016/j.crma.2006.06.015

Analyse numérique

Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D

Présenté par : Olivier Pironneau

Arnaud Münch ¹

¹ Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 213-218.

Résumé
Abstract

On considère l'équation des ondes homogène posée sur $Ω \subset R^{2}$ et $ω \subset Ω$ . On désigne par $v_{ω}$ le contrôle distribué de norme $L^{2} (ω \times (0, T))$ minimale obtenu par la méthode HUM et stabilisant le système à l'instant $T > 0$ . Cette Note adresse la question de la position optimale du support ω miniminisant $J : ω \to ‖ v_{ω} ‖_{L^{2} (ω \times (0, T))}$ . Supposant $ω \in C^{1, 1} (Ω)$ , on exprime la dérivée de forme de J en terme d'une intégrale curviligne sur ∂ω (indépendamment de toute solution adjointe) permettant de mettre en place un algorithme de gradient. Une application numérique est donnée.

We consider the wave equation defined on $Ω \subset R^{2}$ and $ω \subset Ω$ . We designate by $v_{ω}$ the distributed control of minimal $L^{2} (ω \times (0, T))$ norm obtained with the Hilbert Uniqueness Method which stabilizes the system at time $T > 0$ . This Note addresses the question of the optimal position of ω in order to minimize $J : ω \to ‖ v_{ω} ‖_{L^{2} (ω \times (0, T))}$ . Assuming $ω \in C^{1, 1} (Ω)$ , we express the shape derivative of J as a curvilinear integral on ∂ω (independently of any adjoint solution) leading to a descent algorithm. A numerical application is given.

Reçu le : 2006-01-16
Accepté le : 2006-06-13
Publié le : 2006-07-07

DOI : 10.1016/j.crma.2006.06.015

Affiliations des auteurs :

Arnaud Münch ¹

¹ Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France

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Arnaud Münch. Un problème d'optimisation de forme pour la contrôlabilité exacte de l'équation des ondes 2D. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 3, pp. 213-218. doi : 10.1016/j.crma.2006.06.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.06.015/

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