Sur une conjecture de Dehornoy

Florent Hivert; Jean-Christophe Novelli; Jean-Yves Thibon

doi:10.1016/j.crma.2008.02.009

Combinatoire

Sur une conjecture de Dehornoy

Présenté par : Christophe Soulé

Florent Hivert ¹ ; Jean-Christophe Novelli ² ; Jean-Yves Thibon ²

¹ LITIS, université de Rouen, avenue de l'université, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray cedex, France
² Institut Gaspard-Monge, université Paris-est, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 7-8, pp. 375-378.

Résumé
Abstract

Soit $M_{n}$ la matrice $n! \times n!$ , indexée par les permutations de $S_{n}$ , et définie par $M_{n} (σ, τ) = 1$ si toute descente de $τ^{−1}$ est aussi une descente de σ, et $M_{n} (σ, τ) = 0$ sinon. Nous démontrons le résultat suivant, conjecturé par P. Dehornoy : soit $P_{n} (x)$ le polynôme caractéristique de $M_{n}$ . Alors, $P_{n} (x)$ divise $P_{n + 1} (x)$ dans $Z [x]$ .

Let $M_{n}$ be the $n! \times n!$ matrix indexed by permutations of $S_{n}$ , defined by $M_{n} (σ, τ) = 1$ if every descent of $τ^{−1}$ is also a descent of σ, and $M_{n} (σ, τ) = 0$ otherwise. We prove the following result, conjectured by P. Dehornoy: let $P_{n} (x)$ be the characteristic polynomial of $M_{n}$ . Then, $P_{n} (x)$ divides $P_{n + 1} (x)$ in $Z [x]$ .

Reçu le : 2007-10-26
Accepté le : 2008-02-08
Publié le : 2008-03-03

DOI : 10.1016/j.crma.2008.02.009

Affiliations des auteurs :

Florent Hivert ¹ ; Jean-Christophe Novelli ² ; Jean-Yves Thibon ²

¹ LITIS, université de Rouen, avenue de l'université, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray cedex, France
² Institut Gaspard-Monge, université Paris-est, 77454 Marne-la-Vallée cedex 2, France

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Florent Hivert; Jean-Christophe Novelli; Jean-Yves Thibon. Sur une conjecture de Dehornoy. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 7-8, pp. 375-378. doi : 10.1016/j.crma.2008.02.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.02.009/

Bibliographie
Cité par

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[2] L. Carlitz; R. Scoville; T. Vaughan Enumeration of pairs of sequences by rises, falls and levels, Manuscripta Math., Volume 19 (1976), pp. 211-243

[3] P. Dehornoy Combinatorics of normal sequences of braids, J. Comb. Theory Ser. A, Volume 114 (2007), pp. 389-409 | arXiv

[4] P. Dehornoy Still another approach to the braid ordering (Pacific Math. J., in press) | arXiv

[5] G. Duchamp; F. Hivert; J.-Y. Thibon Noncommutative symmetric functions VI: free quasi-symmetric functions and related algebras, Internat. J. Algebra Comput., Volume 12 (2002), pp. 671-717

[6] J.-C. Novelli; J.-Y. Thibon Noncommutative Bessel symmetric functions (Canadian Math. Bull., in press; also) | arXiv

Cité par Sources :

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