The Weyl calculus and the zeta function

André Unterberger

doi:10.1016/j.crma.2008.03.020

Number Theory/Mathematical Analysis

The Weyl calculus and the zeta function

Presented by: Jean-Michel Bony

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 607-610.

Abstract
Résumé

Let $G = SL (2, R)$ and $Γ = SL (2, Z)$ . Given a finite set S of primes including 2, and $N = 2 \prod_{p \in S} p$ , one can define a set $(ϖ_{ρ})$ of discretely supported measures on the line, parametrized by the set of squares in ${(Z / N Z)}^{\times}$ , with the following properties: (i) the linear space generated by the distributions $ϖ_{ρ}$ is invariant under the metaplectic transformation $Met ({\tilde{g}}^{−1})$ associated to any element ${\tilde{g}}^{−1}$ of the metaplectic group lying above Γ; (ii) for every $\tilde{g}$ in the metaplectic group, lying above $g \in G$ , set $ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} = Met ({\tilde{g}}^{−1}) ϖ_{ρ}$ : then, given $u \in S (R)$ with the parity determined by #S, the sum $\sum_{ρ} {| 〈 ϖ_{ρ}^{\tilde{g}}, u 〉 |}^{2}$ only depends on the class Γg, and the integral of this expression over $Γ \ G$ is the product of $‖ u ‖_{L^{2} (R)}^{2}$ by a positive constant. Analyzing an operator $A : S^{'} (R) \to S (R)$ by means of its diagonal matrix elements $(ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} | A ϖ_{ρ}^{\tilde{g}})$ brings to light a natural spectral–theoretic role of the family of partial products of the Eulerian expansion of the zeta function.

Soient $G = SL (2, R)$ and $Γ = SL (2, Z)$ . Étant donnés un ensemble fini S de nombres premiers comprenant 2, et $N = 2 \prod_{p \in S} p$ , on peut construire un ensemble $(ϖ_{ρ})$ de mesures à support discret sur la droite, indexé par l'ensemble des carrés dans ${(Z / N Z)}^{\times}$ , avec les propriétés suivantes : (i) l'espace vectoriel engendré par les distributions $ϖ_{ρ}$ est invariant par toute transformation métaplectique $Met ({\tilde{g}}^{−1})$ au–dessus d'un point de Γ ; (ii) pout tout $\tilde{g}$ appartenant au groupe métaplectique, au–dessus d'un point $g \in G$ , posons $ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} = Met ({\tilde{g}}^{−1}) ϖ_{ρ}$ : alors, étant donnée $u \in S (R)$ , de parité déterminée par le nombre #S, la somme $\sum_{ρ} {| 〈 ϖ_{ρ}^{\tilde{g}}, u 〉 |}^{2}$ ne dépend que de la classe Γg, et l'intégrale de cette expression au–dessus de $Γ \ G$ est le produit de $‖ u ‖_{L^{2} (R)}^{2}$ par une constante positive. L'analyse d'un opérateur $A : S^{'} (R) \to S (R)$ au moyen des produits scalaires $(ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} | A ϖ_{ρ}^{\tilde{g}})$ met en évidence un rôle naturel, comme ingrédient d'une densité spectrale, joué par tout produit partiel du développement eulérien de la fonction zeta.

Received: 2008-01-17
Accepted: 2008-03-17
Published online: 2008-04-14

DOI: 10.1016/j.crma.2008.03.020

Author's affiliations:

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

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André Unterberger. The Weyl calculus and the zeta function. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 607-610. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.03.020/

References
Cited by

[1] H. Iwaniec Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Rev. Mat. Iberoamericana, 1995

[2] A. Unterberger Arithmetic coherent states and quantization theory, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008) | DOI

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