The Weyl calculus and the zeta function

André Unterberger

doi:10.1016/j.crma.2008.03.020

Number Theory/Mathematical Analysis

The Weyl calculus and the zeta function

Jean-Michel Bony

André Unterberger ¹

¹Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 607-610

Abstract (Original language)
Résumé

Let $G = SL (2, R)$ and $Γ = SL (2, Z)$ . Given a finite set S of primes including 2, and $N = 2 \prod_{p \in S} p$ , one can define a set $(ϖ_{ρ})$ of discretely supported measures on the line, parametrized by the set of squares in ${(Z / N Z)}^{\times}$ , with the following properties: (i) the linear space generated by the distributions $ϖ_{ρ}$ is invariant under the metaplectic transformation $Met ({\tilde{g}}^{−1})$ associated to any element ${\tilde{g}}^{−1}$ of the metaplectic group lying above Γ; (ii) for every $\tilde{g}$ in the metaplectic group, lying above $g \in G$ , set $ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} = Met ({\tilde{g}}^{−1}) ϖ_{ρ}$ : then, given $u \in S (R)$ with the parity determined by #S, the sum $\sum_{ρ} {| 〈 ϖ_{ρ}^{\tilde{g}}, u 〉 |}^{2}$ only depends on the class Γg, and the integral of this expression over $Γ \ G$ is the product of $‖ u ‖_{L^{2} (R)}^{2}$ by a positive constant. Analyzing an operator $A : S^{'} (R) \to S (R)$ by means of its diagonal matrix elements $(ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} | A ϖ_{ρ}^{\tilde{g}})$ brings to light a natural spectral–theoretic role of the family of partial products of the Eulerian expansion of the zeta function.

Soient $G = SL (2, R)$ and $Γ = SL (2, Z)$ . Étant donnés un ensemble fini S de nombres premiers comprenant 2, et $N = 2 \prod_{p \in S} p$ , on peut construire un ensemble $(ϖ_{ρ})$ de mesures à support discret sur la droite, indexé par l'ensemble des carrés dans ${(Z / N Z)}^{\times}$ , avec les propriétés suivantes : (i) l'espace vectoriel engendré par les distributions $ϖ_{ρ}$ est invariant par toute transformation métaplectique $Met ({\tilde{g}}^{−1})$ au–dessus d'un point de Γ ; (ii) pout tout $\tilde{g}$ appartenant au groupe métaplectique, au–dessus d'un point $g \in G$ , posons $ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} = Met ({\tilde{g}}^{−1}) ϖ_{ρ}$ : alors, étant donnée $u \in S (R)$ , de parité déterminée par le nombre #S, la somme $\sum_{ρ} {| 〈 ϖ_{ρ}^{\tilde{g}}, u 〉 |}^{2}$ ne dépend que de la classe Γg, et l'intégrale de cette expression au–dessus de $Γ \ G$ est le produit de $‖ u ‖_{L^{2} (R)}^{2}$ par une constante positive. L'analyse d'un opérateur $A : S^{'} (R) \to S (R)$ au moyen des produits scalaires $(ϖ_{ρ}^{\tilde{g}} | A ϖ_{ρ}^{\tilde{g}})$ met en évidence un rôle naturel, comme ingrédient d'une densité spectrale, joué par tout produit partiel du développement eulérien de la fonction zeta.

Article information
Cite this article

Received: 2008-01-17
Accepted: 2008-03-17
Published online: 2008-04-14

DOI: 10.1016/j.crma.2008.03.020

Author's affiliations:

André Unterberger ¹

¹ Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

André Unterberger. The Weyl calculus and the zeta function. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 607-610. doi: 10.1016/j.crma.2008.03.020

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TY  - JOUR
AU  - André Unterberger
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
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References
Cited by

[1] H. Iwaniec Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Rev. Mat. Iberoamericana, 1995

[2] A. Unterberger Arithmetic coherent states and quantization theory, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008) | DOI

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