Comptes Rendus
no. 11-12
Number Theory
Integral j-invariants and Cartan structures for elliptic curves
[Invariants j entiers et structures de Cartan de courbes elliptiques]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Yu. Bilu1 ; Pierre Parent1
1 Institut de mathématiques de Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 599-602.

On borne l'invariant j des points entiers des courbes modulaires, en fonction du groupe de congruence définissant la courbe. Sous l'hypothèse de Riemann généralisée, on en déduit que, si p est un nombre premier suffisamment grand, la courbe modulaire Xsplit(p5) n'a pas de point rationnel non trivial.

We bound the j-invariant of integral points on a modular curve in terms of the congruence group defining the curve. We apply this to prove that, under the GRH, the modular curve Xsplit(p5) has no non-trivial rational point if p is a sufficiently large prime number.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.002
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Yu. Bilu; Pierre Parent. Integral j-invariants and Cartan structures for elliptic curves. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 599-602. doi : 10.1016/j.crma.2008.04.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.04.002/

[1] Yu. Bilu, P. Parent, Explicit bounds for integral j-invariants and level of Cartan structures for elliptic curves, in preparation

[2] E. Bombieri On Weil's “théorème de décomposition”, Amer. J. Math., Volume 105 (1983), pp. 295-308

[3] E. Halberstadt; A. Kraus Sur les modules de torsion des courbes elliptiques, Math. Ann., Volume 310 (1998), pp. 47-54

[4] D.S. Kubert; S. Lang Modular Units, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 244, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981 (xiii+358 pp)

[5] D.W. Masser; G. Wüstholz Galois properties of division fields of elliptic curves, Bull. London Math. Soc., Volume 25 (1993), pp. 247-254

[6] L. Merel, Normalizers of split Cartan subgroups and supersingular elliptic curves, in: Proceedings of the conference, Diophantine Geometry, Pisa, 2005

[7] F. Pellarin Sur une majoration explicite pour un degré d'isogénie liant deux courbes elliptiques, Acta Arith., Volume 100 (2001), pp. 203-243

[8] J.-P. Serre Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math., Volume 15 (1972), pp. 259-331

[9] J.-P. Serre Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev, Publ. Math. IHES, Volume 54 (1981), pp. 323-401

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