Comptes Rendus
no. 13-14
Probability Theory
Brownian motion with respect to a metric depending on time; definition, existence and applications to Ricci flow
[Mouvement brownien par rapport à une famille de métriques : définition, existence et applications]

Présenté par : Paul Malliavin

Marc Arnaudon1 ; Kolehe Abdoulaye Coulibaly1 ; Anton Thalmaier2
1 Laboratoire de Mathématiques et Applications (UMR6086), Université de Poitiers, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France
2 Unité de recherche en mathématiques, Université du Luxembourg, 162A, avenue de la Faïencerie, L-1511 Luxembourg, Grand-Duché de Luxembourg
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 773-778.

Soit M une variété compacte de dimension n et g(t) une famille de métriques sur M, nous allons définir un g(t)-mouvement brownien, qui sera l'analogue d'un mouvement brownien sur une variété mais tenant compte de la déformation (c'est-à-dire de la famille de métriques g(t)). Cet outil nous donnera une vision probabiliste de différents flots géométriques (e.g. flot de Ricci, flot de courbure moyenne). Nous donnerons aussi des formules de représentation en terme des martingales de solutions d'EDP non-linéaires sur M, ainsi que des formules du type Bismut pour des quantités géométriques évoluant le long d'un tel flot. Pour finir, nous donnerons comme application une formule de contrôle du gradient d'une solution de l'équation de la chaleur sur (M,g(t)) et une caractérisation du flot de Ricci en terme de transport parallèle déformé.

Given an n-dimensional compact manifold M, endowed with a family of Riemannian metrics g(t), a Brownian motion depending on the deformation of the manifold (via the family g(t) of metrics) is defined. This tool enables a probabilistic view of certain geometric flows (e.g. Ricci flow, mean curvature flow). In particular, we give a martingale representation formula for a non-linear PDE over M, as well as a Bismut type formula for a geometric quantity which evolves under this flow. As application we present a gradient control formula for the heat equation over (M,g(t)) and a characterization of the Ricci flow in terms of the damped parallel transport.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.05.004
Marc Arnaudon 1 ; Kolehe Abdoulaye Coulibaly 1 ; Anton Thalmaier 2

1 Laboratoire de Mathématiques et Applications (UMR6086), Université de Poitiers, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France
2 Unité de recherche en mathématiques, Université du Luxembourg, 162A, avenue de la Faïencerie, L-1511 Luxembourg, Grand-Duché de Luxembourg 
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[1] M. Arnaudon; B.K. Driver; A. Thalmaier Gradient estimates for positive harmonic functions by stochastic analysis, Stochastic Process. Appl., Volume 117 (2007) no. 2, pp. 202-220

[2] B. Chow; D. Knopf The Ricci Flow: An Introduction, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 110, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004

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[5] M. Émery Stochastic Calculus in Manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 1989 (With an appendix by P.-A. Meyer)

[6] E.P. Hsu Stochastic Analysis on Manifolds, Graduate Studies in Mathematics, vol. 38, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002

[7] G. Huisken Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres, J. Differential Geom., Volume 20 (1984) no. 1, pp. 237-266

[8] P. Malliavin Stochastic Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 313, Springer, Berlin, 1997

[9] A. Thalmaier; Feng-Yu Wang Gradient estimates for harmonic functions on regular domains in Riemannian manifolds, J. Funct. Anal., Volume 155 (1998) no. 1, pp. 109-124

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