Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique

Laurent Amour; Jérémy Faupin; Benoît Grébert; Jean-Claude Guillot

doi:10.1016/j.crma.2008.09.015

Équations aux dérivées partielles

Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique
[The infrared problem for the dressed non-relativistic electron in a magnetic field]

Presented by: Jean-Michel Bony

Laurent Amour ¹; Jérémy Faupin ²; Benoît Grébert ³; Jean-Claude Guillot ⁴

¹ Laboratoire de mathématiques EDPPM, FRE-CNRS 3111, Université de Reims, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
² Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet, Ny Munkegade, D-8000 Aarhus C, Denmark
³ Laboratoire de mathématiques Jean-Leray, UMR-CNRS 6629, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44072 Nantes cedex 3, France
⁴ Centre de mathématiques appliquées, UMR-CNRS 7641, École polytechnique, 99128 Palaiseau cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1045-1050.

Résumé (Original language)
Abstract

Nous considérons un électron non relativiste interagissant avec un champ magnétique classique dans la direction $x_{3}$ et un champ électromagnétique quantifié. Le système est invariant par translation suivant $x_{3}$ et l'Hamiltonien correspondant admet une décomposition $H ≃ \int_{R}^{\oplus} H (P_{3}) d P_{3}$ . Pour une impulsion $P_{3}$ fixée suffisamment petite, nous montrons que $H (P_{3})$ possède un état fondamental dans la représentation Fock si et seulement si $E^{'} (P_{3}) = 0$ , où $P_{3} \mapsto E^{'} (P_{3})$ est la dérivée de l'application $P_{3} \mapsto E (P_{3}) = \inf σ (H (P_{3}))$ . Lorsque $E^{'} (P_{3}) \neq 0$ , nous obtenons l'existence d'un état fondamental dans une représentation non équivalente à la représentation Fock. Ce résultat est valable pour des valeurs suffisamment petites de la constante de couplage.

We consider a non-relativistic electron interacting with a classical magnetic field pointing along the $x_{3}$ -axis and with a quantized electromagnetic field. The system is translation invariant in the $x_{3}$ -direction and the corresponding Hamiltonian has a decomposition $H ≃ \int_{R}^{\oplus} H (P_{3}) d P_{3}$ . For a fixed momentum $P_{3}$ sufficiently small, we prove that $H (P_{3})$ has a ground state in the Fock representation if and only if $E^{'} (P_{3}) = 0$ , where $P_{3} \mapsto E^{'} (P_{3})$ is the derivative of the map $P_{3} \mapsto E (P_{3}) = \inf σ (H (P_{3}))$ . If $E^{'} (P_{3}) \neq 0$ , we obtain the existence of a ground state in a non-Fock representation. This result holds for sufficiently small values of the coupling constant.

Received: 2008-05-02
Accepted: 2008-09-11
Published online: 2008-10-01

DOI: 10.1016/j.crma.2008.09.015

Author's affiliations:

Laurent Amour ¹; Jérémy Faupin ²; Benoît Grébert ³; Jean-Claude Guillot ⁴

¹ Laboratoire de mathématiques EDPPM, FRE-CNRS 3111, Université de Reims, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
² Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet, Ny Munkegade, D-8000 Aarhus C, Denmark
³ Laboratoire de mathématiques Jean-Leray, UMR-CNRS 6629, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44072 Nantes cedex 3, France
⁴ Centre de mathématiques appliquées, UMR-CNRS 7641, École polytechnique, 99128 Palaiseau cedex, France

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Laurent Amour; Jérémy Faupin; Benoît Grébert; Jean-Claude Guillot. Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1045-1050. doi : 10.1016/j.crma.2008.09.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.09.015/

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