Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique

Laurent Amour; Jérémy Faupin; Benoît Grébert; Jean-Claude Guillot

doi:10.1016/j.crma.2008.09.015

Équations aux dérivées partielles

Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique

Présenté par : Jean-Michel Bony

Laurent Amour ¹ ; Jérémy Faupin ² ; Benoît Grébert ³ ; Jean-Claude Guillot ⁴

¹ Laboratoire de mathématiques EDPPM, FRE-CNRS 3111, Université de Reims, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
² Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet, Ny Munkegade, D-8000 Aarhus C, Denmark
³ Laboratoire de mathématiques Jean-Leray, UMR-CNRS 6629, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44072 Nantes cedex 3, France
⁴ Centre de mathématiques appliquées, UMR-CNRS 7641, École polytechnique, 99128 Palaiseau cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1045-1050.

Résumé
Abstract

Nous considérons un électron non relativiste interagissant avec un champ magnétique classique dans la direction $x_{3}$ et un champ électromagnétique quantifié. Le système est invariant par translation suivant $x_{3}$ et l'Hamiltonien correspondant admet une décomposition $H ≃ \int_{R}^{\oplus} H (P_{3}) d P_{3}$ . Pour une impulsion $P_{3}$ fixée suffisamment petite, nous montrons que $H (P_{3})$ possède un état fondamental dans la représentation Fock si et seulement si $E^{'} (P_{3}) = 0$ , où $P_{3} \mapsto E^{'} (P_{3})$ est la dérivée de l'application $P_{3} \mapsto E (P_{3}) = \inf σ (H (P_{3}))$ . Lorsque $E^{'} (P_{3}) \neq 0$ , nous obtenons l'existence d'un état fondamental dans une représentation non équivalente à la représentation Fock. Ce résultat est valable pour des valeurs suffisamment petites de la constante de couplage.

We consider a non-relativistic electron interacting with a classical magnetic field pointing along the $x_{3}$ -axis and with a quantized electromagnetic field. The system is translation invariant in the $x_{3}$ -direction and the corresponding Hamiltonian has a decomposition $H ≃ \int_{R}^{\oplus} H (P_{3}) d P_{3}$ . For a fixed momentum $P_{3}$ sufficiently small, we prove that $H (P_{3})$ has a ground state in the Fock representation if and only if $E^{'} (P_{3}) = 0$ , where $P_{3} \mapsto E^{'} (P_{3})$ is the derivative of the map $P_{3} \mapsto E (P_{3}) = \inf σ (H (P_{3}))$ . If $E^{'} (P_{3}) \neq 0$ , we obtain the existence of a ground state in a non-Fock representation. This result holds for sufficiently small values of the coupling constant.

Reçu le : 2008-05-02
Accepté le : 2008-09-11
Publié le : 2008-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.09.015

Affiliations des auteurs :

Laurent Amour ¹ ; Jérémy Faupin ² ; Benoît Grébert ³ ; Jean-Claude Guillot ⁴

@article{CRMATH_2008__346_19-20_1045_0,
     author = {Laurent Amour and J\'er\'emy Faupin and Beno{\^\i}t Gr\'ebert and Jean-Claude Guillot},
     title = {Le probl\`eme infrarouge pour l'\'electron habill\'e non relativiste dans un champ magn\'etique},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1045--1050},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {19-20},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.09.015},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Laurent Amour
AU  - Jérémy Faupin
AU  - Benoît Grébert
AU  - Jean-Claude Guillot
TI  - Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 1045
EP  - 1050
VL  - 346
IS  - 19-20
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.09.015
LA  - fr
ID  - CRMATH_2008__346_19-20_1045_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Laurent Amour
%A Jérémy Faupin
%A Benoît Grébert
%A Jean-Claude Guillot
%T Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 1045-1050
%V 346
%N 19-20
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.09.015
%G fr
%F CRMATH_2008__346_19-20_1045_0

Laurent Amour; Jérémy Faupin; Benoît Grébert; Jean-Claude Guillot. Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1045-1050. doi : 10.1016/j.crma.2008.09.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.09.015/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Amour, J. Faupin, B. Grébert, J.-C. Guillot, The infrared problem for the dressed mobile ions, in preparation

[2] L. Amour; B. Grébert; J.-C. Guillot The dressed mobile atoms and ions, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 86 (2006) no. 3, pp. 177-200

[3] L. Amour; B. Grébert; J.-C. Guillot The dressed nonrelativistic electron in a magnetic field, Math. Methods Appl. Sci., Volume 29 (2006) no. 10, pp. 1121-1146

[4] A. Arai Ground state of the massless Nelson model without infrared cutoff in a non-Fock representation, Rev. Math. Phys., Volume 13 (2001) no. 9, pp. 1075-1094

[5] J. Avron; I. Herbst; B. Simon Schrödinger operators with magnetic fields. I. General interactions, Duke Math. J., Volume 45 (1978) no. 4, pp. 847-883

[6] V. Bach; T. Chen; J. Fröhlich; I.M. Sigal The renormalized electron mass in non-relativistic quantum electrodynamics, J. Funct. Anal., Volume 243 (2007) no. 2, pp. 426-535

[7] T. Chen Infrared renormalization in non-relativistic qed and scaling criticality, J. Funct. Anal. (2008) | DOI

[8] T. Chen; J. Fröhlich; A. Pizzo Infraparticle scattering states in non-relativistic QED II. Mass shell properties, 2007 (arxiv.org) | arXiv

[9] T. Chen; J. Fröhlich Coherent infrared representations in non-relativistic QED, Spectral Theory and Mathematical Physics: A Festschrift in Honor of Barry Simon's 60th Birthday, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 76, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 25-45

[10] J. Dereziński; C. Gérard Asymptotic completeness in quantum field theory. Massive Pauli–Fierz Hamiltonians, Rev. Math. Phys., Volume 11 (1999) no. 4, pp. 383-450

[11] J. Dereziński; C. Gérard Scattering theory of infrared divergent Pauli–Fierz Hamiltonians, Ann. Henri Poincaré, Volume 5 (2004) no. 3, pp. 523-577

[12] M. Griesemer; E.H. Lieb; M. Loss Ground states in non-relativistic quantum electrodynamics, Invent. Math., Volume 145 (2001) no. 3, pp. 557-595

[13] D. Hasler; I. Herbst Absence of ground states for a class of translation invariant models of non-relativistic QED, 2007 (arxiv.org) | arXiv

[14] A. Iwatsuka; H. Tamura Asymptotics distribution of eigenvalues for Pauli operators with non-constant magnetic fields, Duke Math. J., Volume 93 (1998), pp. 535-574

[15] M. Loss; T. Miyao; H. Spohn Lowest energy states in nonrelativistic QED: atoms and ions in motion, J. Funct. Anal., Volume 243 (2007) no. 2, pp. 353-393

[16] A. Panati Existence and non existence of a ground state for the massless Nelson model under binding condition, 2006 (preprint, arxiv.org) | arXiv

[17] A. Pizzo One-particle (improper) states in Nelson's massless model, Ann. Henri Poincaré, Volume 4 (2003) no. 3, pp. 439-486

[18] G.D. Raikov Eigenvalue asymptotics for the Pauli operator in strong non-constant magnetic fields, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999), pp. 1603-1636

[19] A.V. Sobolev On the Lieb–Thirring estimates for the Pauli operator, Duke Math. J., Volume 82 (1996) no. 3, pp. 607-635

Cité par Sources :

Commentaires - Politique