Comptes Rendus
no. 21-22
Partial Differential Equations/Mathematical Physics
Semiclassical approximation and noncommutative geometry
[Approximation semiclassique et géométrie non commutative]

Présenté par : Yves Meyer

Thierry Paul1
1 CNRS and CMLS École polytechnique, 91128 Palaiseau cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 21-22, pp. 1177-1182.

Nous considérons lʼévolution semiclassique à temps long pour lʼéquation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que, dans le cas dʼune dynamique sous-jacente chaotique, le symbole principal dʼune observable est propagé, jusquʼà des temps de lʼordre de ℏ−2+ϵ,ϵ>0, par le flot classique sous-jacent, à condition de considérer un calcul symbolique de type Toeplitz que nous précisons et pour lequel le symbole appartient à lʼalgèbre non commutative du feuilletage (fort) instable de la dynamique classique correspondante.

We consider the long time semiclassical evolution for the linear Schrödinger equation. We show that, in the case of chaotic underlying classical dynamics and for times up to ℏ−2+ϵ,ϵ>0, the symbol of a propagated observable by the corresponding von Neumann–Heisenberg equation is, in a sense made precise below, precisely obtained by the push-forward of the symbol of the observable at time t=0. The corresponding definition of the symbol calls upon a kind of Toeplitz quantization framework, and the symbol itself is an element of the noncommutative algebra of the (strong) unstable foliation of the underlying dynamics.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.10.011
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Thierry Paul. Semiclassical approximation and noncommutative geometry. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 21-22, pp. 1177-1182. doi : 10.1016/j.crma.2011.10.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.10.011/

[1] D. Bambusi; S. Graffi; T. Paul Long time semiclassical approximation of quantum flows: A proof of the Ehrenfest time, Asymptot. Anal., Volume 21 (1999), pp. 149-160

[2] A. Bouzouina; D. Robert Uniform semiclassical estimates for the propagation of quantum observables, Duke Math. J., Volume 111 (2002), pp. 223-252

[3] A. Connes Noncommutative Geometry, Academic Press, Inc., 1994

[4] A. Connes Sur la thérie non commutative de lʼintégration, Lectures Notes in Math., vol. 725, Springer, Berlin, 1979

[5] B. Hasselblatt; A. Katok Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 54, Cambridge University Press, 1995

[6] T. Paul, in preparation.

[7] T. Paul; A. Uribe The semi-classical trace formula and propagation of wave packets, J. Funct. Anal., Volume 132 (1995), pp. 192-249

[8] R. Schubert Semiclassical wave propagation for large times | arXiv

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