Comptes Rendus
no. 7-8
Équations aux dérivées partielles/Analyse numérique
Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants

Présenté par : le Comité de rédaction

Claude Le Bris1, 2 ; Frédéric Legoll3, 2 ; Kun Li1
1 CERMICS, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
2 INRIA Rocquencourt, MICMAC project, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
3 Laboratoire Navier, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 265-270.

Nous nous posons la question de lʼapproximation dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants par un problème de même type, mais avec des coefficients constants, en nous plaçant délibérément dans une perspective pratique (de lʼingénieur), où toutes les informations sur les coefficients de lʼéquation ne sont pas forcément disponibles. Nous étudions les liens entre cette problématique et la théorie classique de lʼhomogénéisation. Quelques cas pratiques simples sont examinés, sur lesquels on démontre lʼintérêt potentiel de lʼapproche.

Our wish is to approximate an elliptic problem with highly oscillatory coefficients using a problem of the same type, but with constant coefficients. We deliberately take an engineering perspective, where the information on the oscillating coefficients in the equation can be incomplete or entirely missing. We investigate the links between this particular question and the classical theory of homogenization. On some illustrating examples we show the potential practical interest of the approach.

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DOI : 10.1016/j.crma.2013.04.008
Claude Le Bris 1, 2 ; Frédéric Legoll 3, 2 ; Kun Li 1

1 CERMICS, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
2 INRIA Rocquencourt, MICMAC project, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
3 Laboratoire Navier, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France 
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Claude Le Bris; Frédéric Legoll; Kun Li. Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 265-270. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.04.008/

[1] A. Bensoussan; J.-L. Lions; G. Papanicolaou Asymptotic Analysis for Periodic Structures, Studies in Mathematics and Its Applications, vol. 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, New York, 1978

[2] X. Blanc; C. Le Bris; P.-L. Lions A definition of the ground state energy for systems composed of infinitely many particles, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 28 (2003) no. 1–2, pp. 439-475

[3] X. Blanc; C. Le Bris; P.-L. Lions Stochastic homogenization and random lattices, J. Math. Pures Appl., Volume 88 (2007), pp. 34-63

[4] X. Blanc; C. Le Bris; P.-L. Lions A possible homogenization approach for the numerical simulation of periodic microstructures with defects, Milan J. Math., Volume 80 (2012), pp. 351-367

[5] A. Blasselle Modélisation mathématique de la peau, 2011 (Thèse de lʼUniversité Paris-6)

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[7] L.J. Durlofsky Numerical calculation of equivalent grid block permeability tensors for heterogeneous porous media, Water Resour. Res., Volume 27 (1991), pp. 699-708

[8] Y. Efendiev; T. Hou Multiscale Finite Element Method, Theory and Applications, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol. 4, Springer, New York, 2009

[9] F. Hecht; O. Pironneau; A. Le Hyaric; K. Ohtsuke, 2007 http://www.freefem.org FreeFem++ (manual)

[10] V.V. Jikov; S.M. Kozlov; O.A. Oleinik Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer-Verlag, New York, 1994

[11] C. Le Bris, F. Legoll, K. Li, en préparation.

Cité par Sources :

☆ Nous remercions Tony Lelièvre pour de nombreuses discussions à lʼorigine de ce projet.

Commentaires - Politique

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